2025邵阳武冈高一上学期期中考试数学试题含解析

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注意事项：
1.本试卷考试时量120分钟，满分150分；
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3.请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式.
【详解】命题“”的否定是
故选：B
2. 若，则集合可用列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法表示集合，可得结果.
【详解】因为，则.
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论.
【详解】将代入成立，即“”是“”的充分条件；
由得：或，所以“”不是“”的必要条件，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由得，利用给定解析式求出，再由函数奇偶性，即可得出结果.
【详解】因为，
当时，，所以，
又函数是定义在R上的奇函数，
所以，因此.
故选：D.
5. 已知函数分别由下表给出：
则满足的的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1和2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意按照、、分类讨论，先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值，逐个判断即可得解.
【详解】当时，，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意；
综上，满足的的值为2.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的表示法：列表法的应用，考查了运算求解能力，要注意先求出内函数的函数值后再求外函数的函数值，属于基础题.
6. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象．
【详解】由得，，即定点为，
设，则，，所以，图象为B．
故选：B．
7. 已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论.
【详解】由题知同一坐标系下画出，图象如下所示：

由图可知的解集为.
故选：A.
8. 已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得．
【详解】是上的增函数，又，即是奇函数，
所以不等式可化为，
所以，又，所以，
由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，，
所以，
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若函数是幂函数，则一定（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故选：BD.
10. 已知a、b都是正实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断ABD，用作差法判断C．
【详解】因为，
所以，当且仅当，即时取等号，A正确；
，当且仅当时取等号，B错；
，当且仅当时等号成立，所以，C正确；
，又，因此，从而，当且仅当时取等号，D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则
A.
B.
C. ，
D. ，不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】由，可判断A；由，可判断B；由图可得时，；时，，可判断C；由，结合图象可判断D.
【详解】A. 因为，，所以，正确；
B. ，，所以，错误；
C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；
时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；
D 由C得 ，，如图：
所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.
【详解】因为，所以，或，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，满足集合元素互异性，满足要求.
故答案为：.
13. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：奇函数定义域关于原点对称，所以解得，或．当时，,定义域为[-6，6]，显然x=0时函数无意义，故舍去．当时，，
定义域为[-2，2]，显然符合题意．
考点：函数的奇偶性．
【方法点睛】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．判断奇偶性前，先看定义域是否关于原点对称，如果不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；如果关于原点对称则进一步判断．因此本题首先得到，从而求出m的值，然后通过函数的单调性对m的值进行取舍．
14. 定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时， __________.
【答案】2024
【解析】
【分析】先化简，再分即和即两种情况化简，并分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而得出不等式在上的解集，进而得解.
【详解】由题，
所以即，即，
（i）当即时，不等式化为，
当，，不等式化为，符合，所以；
当，，不等式化为，不符合；
当，，不等式化为即，不符合；
当，，不等式化为即，不符合；
…
以此类推至，都有，从而不存在x使不等式成立.
所以不等式在上的解集为；
（ii）当即时，不等式化为，
当，，不等式化为即，所以；
当，，不等式化为即，所以；
当，，不等式化为即，所以；
当，，不等式化为即，所以；
…
以此类推至，，不等式化为即，所以，
所以不等式在上的解集为.
综上，不等式在上的解集为.
所以.
故答案为：2024.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键是充分利用分类讨论思想求解问题，先分即和即两种情况化简，再分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而简化问题的难度.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 若集合．
（1）若，全集，试求．
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，得到和，结合集合的交并补运算即可得解.
（2）求得，结合题意得到，结合集合的包含关系，即可求解.
【小问1详解】
当时，可得，
因为，可得，
则，所以．
【小问2详解】
因为，
由，可得，所以，
即实数的取值范围是.
16. 已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
17. 心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：.
（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由.
【答案】（1）讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式分别求出和，即可比较；
（2）令，解得得到，持续时间，即可判断.
【小问1详解】
由题意得，，，所以，讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中.
【小问2详解】
当时，解，，得；
当，解，因为，得；
当，解，得.
所以，仅在这一时段内，学生的注意力至少达到55.
又因，且，
所以，老师不能在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目.
18. （1）已知，且满足.求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，求的最大值.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】（1）由已知把变形为，展开后用基本不等式求得最小值；
（2）分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解；
（3）令，，可得，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值；
【详解】（1）由，可得
；
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为
（2）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为9．
（3）令，，
可得，
所以，；
当且仅当时，上式取得等号，
可得的最大值为．
19. 已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围；
（3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）（）
（2）单调递增，
（3）
【解析】
【分析】（1）由求得，由及求得得函数解析式；
（2）由定义证明单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式；
（3）问题等价于，求出的最小值，转化为在[1,2]上恒成立，用分离参数法转化为max，再由勾形函数的单调性求得右边的最大值即得．
【小问1详解】
∵为奇函数，∴ ∴，
由，得，
∴ ， ∴ ， ∴（）；
【小问2详解】
设，则，
∵，， ∴，即，
∴在[－2,2]上为单调递增，又∵，
∴ ,得，即为所求；
【小问3详解】
问题等价于，由（2）题得在[1,2]上为增函数，
∴最小值为，
故问题转化为在[1,2]上恒成立，
∴max，
易知在上递减，在上递增，而时，.
时，，故，∴，即．1
2
3
1
2
3
1
3
1
3
2
1