2025宜昌部分省级示范高中高一上学期期中联考数学试题含解析

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命题学校：葛洲坝中学 命题人：彭晓琳
审题学校： 三峡高中 审题人：杨华
审题学校： 枝江一中 审题人：邓攀
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，则，
所以，
又，
所以.
故选：C
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果
【详解】要使函数有意义，必须，解得且，
则函数的定义域为，
故选：D．
3. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断自变量的范围，选择对应解析式求解.
【详解】因，故，又成立，故，
又因为，所以，
所以，
因为，所以．
故选：B.
4. 幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A. ﹣6B. 1C. 6D. 1或﹣6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值．
【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数
或
当时，满足条件；当时，，舍去
因此：m＝1
故选：B
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
6. 若函数是上的减函数，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围.
【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.
7. 已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小.
【详解】函数是R上的偶函数，所以关于对称，
当时，恒成立知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故选：D.
8. 设函数，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案.
【详解】当时，由，可得，，解得，则；
当时，由，可得，解得，则.
综上所述，由，解得，
当x>0时，由，可得，，解得，则；
当x=0时，由，可得，显然成立，则x=0；
当时，由，可得，，解得或，则.
综上所述，，解得
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 已知不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可得判定A正确，C正确，D正确，再令，可得判定B正确.
【详解】由不等式的解集是，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，可得，所以A错误，C正确；
由，可得，所以D正确；
又由，令，可得，所以B正确.
故选：BCD.
10. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值B. 的最小值为1
C. 的最小值D. +的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，根据基本不等式、二次函数以及“1”的妙用，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，由，则，
由，
则当时，取得最小值45，故B错误；
对于C，由，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，设，解得，
由，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A. 函数满足：
B. 函数的值域是
C. 对于任意，都有
D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解.
【详解】由于，
对于选项A，设任意，则；
设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确，
对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误，
对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确，
对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误，
故选：AC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.
【答案】
【解析】
分析】根据奇函数定义即得.
【详解】当时，，则，
因为函数为奇函数，
所以，即.
所以当时，.
故答案为：.
13. 已知函数在区间上有最小值，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】，及分类讨论后可得实数的值.
【详解】二次函数的对称轴为，
当时，函数在上为增函数，故最小值为即，符合题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
故最小值为不合题意舍；
当时，此时函数在为减函数，
故最小值为即，符合题意；
综上，或.
故答案为: 或.
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由补集和并集的运算得到结果；
（2）把问题转化为是的真子集，再列不等式组求解即可；
【小问1详解】
当时，.
由,得,则
或，
所以或
【小问2详解】
有题意得⫋,
则得,
所以的取值集合为
16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可；
（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.
【小问1详解】
，由题意可知，解得；
【小问2详解】
当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
17. 若函数是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上是递减函数；
（3）若，求实数t的范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，进而解方程得，再检验满足奇函数性质即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据奇偶性得，再根据函数单调性解即可.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
又因为，所以解得，
当时，，
经检验，此时满足，即函数为奇函数，符合题意，
所以，所求函数的解析式为
【小问2详解】
证明：设，
则，
因为，所以，
所以，即，
则函数在上是递减函数
【小问3详解】
解：因为，即，
又因为由（2）知函数在上是递减函数，
所以，即，解得:，
所以，所求实数的范围为
18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【答案】（1）车流密度的取值范围是
（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；
（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
【小问2详解】
解：由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
19. 已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.
（1）判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；
（2）若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（3）是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）是，证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决.
【小问1详解】
由题知，函数，定义域为，
所以，
不妨设，
因为，
所以，
所以，
所以是利普希兹条件函数
【小问2详解】
若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，
均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，
所以，
所以的最小值为．
【小问3详解】
由题意得在上恒成立，
即，
不妨设，
所以，
因为，
所以，
所以.