江苏省南京市第五高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

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参考答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：
1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A
5．【答案】C
【解析】原样本空间的中心点为( EQ \F(1,7)( EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))xi＋6＋0)， EQ \F(1,7)( EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))yi＋28＋28))，
因为 EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))yi＝140，所以中心点为( EQ \F(1,7)( EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))xi＋6)， EQ \F(1,7)×196)，
代入经验回归方程为＝ EQ \F(10,7)x＋ EQ \F(166,7)，得 EQ \F(1,7)×196＝ EQ \F(10,7)× EQ \F(1,7)( EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))xi＋6)＋ EQ \F(166,7)，
解得 EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))xi＝15．设剔除两对数据后的样本空间的中心点为(，)，
则＝ EQ \F(1,5)× EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))xi＝3，＝ EQ \F(1,5)× EQ \O\ac(\S\UP8(5),,\S\DO8(i=1))yi＝28．将点(3，28)代入新的经验回归方程为＝4x＋m，
得28＝4×3＋m，解得m＝16．
故选C．
6．【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7．【答案】C
【解析】设，则，整理可得，
故点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
又因为，
且，
可得，所以的最大值为30.
8．【答案】A
【解析】由 EQ \F(1,tanA)＋ EQ \F(1,tanB)＋ EQ \F(1,tanAtanB)＝1，得tanA＋tanB＝tanAtanB－1．
所以，tan(A＋B)＝ EQ \F(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即－tanC＝－1，tanC＝1，所以C＝ EQ \F(π,4)．
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcsC＝a2＋b2－ EQ \r( ,2)ab≥2ab－ EQ \r( ,2)ab＝(2－ EQ \r( ,2))ab，
因为c＝2，所以ab≤ EQ \F(4,2－ EQ \r( ,2))＝2 EQ \r( ,2)( EQ \r( ,2)＋1)，当且仅当a＝b时取等号．
所以，△ABC的面积＝ EQ \F(1,2)absinC≤ EQ \F(1,2)× EQ \F( EQ \r( ,2),2)×2 EQ \r( ,2)( EQ \r( ,2)＋1)＝1＋ EQ \r( ,2)．
选A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：
9．【答案】AD
10．【答案】ACD
【解析】方程两边平方，得2＋2|sinx|＝k，所以|sinx|＝ EQ \F(k－2,2)，k≥0．
由y＝|sinx|的图像可知， EQ \F(k－2,2)的值为0，1， EQ \F( EQ \r( ,2),2)时，方程 EQ \r( ,1＋csx)＋ EQ \r( ,1－csx)＝ EQ \r( ,k)的正根构成等差数列，所以k＝2，4，2＋ EQ \r( ,2)．
选ACD．
【答案】
【解析】因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
第II卷（共77分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分：
12．【答案】15；
13．【答案】
【解析】由题意，可得
解得则，可得

则，则数列的前n项_和为

即答案为.
14．【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(1)由f(x)＝x＋asinx，得f ′(x)＝1＋acsx．…………………………3分
因为曲线y＝f(x)在点P(π，π)处的切线斜率为2，所以f ′(π)＝1－a＝2，
解得a＝－1． …………………………6分
(2) 由(1)得，f(x)＝x－sinx．
一方面，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，f(x)为奇函数；………2分
另一方面，f ′(x)＝1－csx≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，…………4分
所以，由f(x＋1)＋f(3－2x)＞0，得f(x＋1)＞－f(3－2x)＝f(2x－3)，
所以x＋1＞2x－3，解得x＜4．
所以，所求不等式的解集为(－∞，4)．…………7分
16．(1) 由题设，2b＝2 EQ \r( ,3)，所以b＝ EQ \r( ,3)． ………2分
将点(1， EQ \F(3,2))代入椭圆C方程，得 EQ \F(1,a2)＋ EQ \F(( EQ \F(3,2))2,3)＝1，解得a2＝4．
故椭圆C的方程为 EQ \F(x2,4)＋ EQ \F(y2,3)＝1．………5分
(2) 右焦点F(1，0)，
直线l 不与x轴重合，设其方程为x＝ty＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由 EQ \b\lc\{(\a\al (x＝ty＋1，, EQ \F(x2,4)＋ EQ \F(y2,3)＝1))得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，………3分
所以，y1＋y2＝－ EQ \F(6t,3t2＋4)，y1y2＝－ EQ \F(9,3t2＋4)．………5分
又A(－2，0)，所以，直线PA的方程为y＝ EQ \F(y1,x1＋2)(x＋2)，
令x＝4，得y＝ EQ \F(6y1,x1＋2)，故M(4， EQ \F(6y1,x1＋2))．
同理可得，N(4， EQ \F(6y2,x2＋2))．………7分
从而k1＝ EQ \F( EQ \F(6y1,x1＋2),4－1)＝ EQ \F(2y1,x1＋2)＝ EQ \F(2y1,ty1＋3)，k2＝ EQ \F(2y2,ty2＋3)．
故k1·k2＝ EQ \F(2y1,ty1＋3)× EQ \F(2y2,ty2＋3)＝ EQ \F(4y1y2,t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9)＝ EQ \F(－4× EQ \F(9,3t2＋4),－t2× EQ \F(9,3t2＋4)－3t× EQ \F(6t,3t2＋4)＋9)＝－1．
所以，k1·k2为定值－1．………10分
17．(1) 在等腰直角△ABC中，AB＝BC，得∠ABC＝90°，
第17题
又点E、F分别为AB，AC的中点，EF∥BC，
所以，EF⊥AB．
将△AEF沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED，EF⊥EB．
又EF∥BC，所以BC⊥ED，BC⊥EB．
又ED平面BDE，EB平面BDE，ED∩EB＝E，
所以，BC⊥平面BDE．
因为BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面BDE．
………7分
(2) 由(1)知，BC⊥平面BDE，
所以，平面ABC⊥平面BDE．
又因为DB＝EB，所以，△BDE为等边三角形．
设EB的中点为O，则DO⊥AB．
因为平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE＝AB，DO平面BDE，
所以，DO⊥平面ABC．过O作OM⊥AB交AC于M．
以O为原点，OM，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系．不妨设AB＝BC＝4． ………2分
得D(0，0， EQ \r( ,3))，E(0，－1，0)，F(2，－1，0)，C(4，1，0)．
所以， eq \(ED,\s\up7(→))＝(0，1， EQ \r( ,3))， eq \(EF,\s\up7(→))＝(2，0，0)， eq \(EC,\s\up7(→))＝(4，2，0)．
设平面DEF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由 EQ \b\lc\{(\a\al (m· eq \(ED,\s\up7(→))＝0，,m· eq \(EF,\s\up7(→))＝0，))得 EQ \b\lc\{(\a\al (y1＋ EQ \r( ,3)z1＝0，,x1＝0．))
可取m＝(0，3，－ EQ \r( ,3))． ………4分
同理可得，平面DEC的一个法向量为n＝(－ EQ \F(3,2)，3，－ EQ \r( ,3))．………6分
所以，cs＝ EQ \F(m·n,| m||n|)＝ EQ \F(12,2 EQ \r( ,3)× EQ \F( EQ \r( ,57),2))＝ EQ \F(4 EQ \r( ,19),19)．
平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为 EQ \F(4 EQ \r( ,19),19)．………8分
18．(1) 记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件B1，“选择2号盒子”为事件B2，则P(B1)＝P(B2)＝ EQ \F(1,2)．
而P(A | B1)＝ EQ \F(CC,C)＝ EQ \F(3,5)；P(A | B2)＝ EQ \F(CC,C)＝ EQ \F(8,15)，
所以，P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＝P(B1)×P(A | B1)＋P(B2)×P(A | B2)
＝ EQ \F(1,2)× EQ \F(3,5)＋ EQ \F(1,2)× EQ \F(8,15)＝ EQ \F(17,30)． ………5分
若摸出球的结果是一红一白，这2个球出自1号盒子的概率为
P(B1 | A)＝ EQ \F(P(B1A),P(A))＝ EQ \F(P(B1)×P(A | B1), P(A))＝ EQ \F( EQ \F(1,2)× EQ \F(3,5), EQ \F(17,30))＝ EQ \F(9,17)．
答：若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率为 EQ \F(9,17)．………9分
(2) 由题意，X的所有可能值为3，4，5，6．
从1号盒子中摸出1个白球的概率为 EQ \F(2,5)，摸出1个红球的概率为 EQ \F(3,5)，所以，
P(X＝3)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(C,C)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(15,45)＝ EQ \F(2,15)；
P(X＝4)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(CC,C)＋ EQ \F(3,5)× EQ \F(C,C)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(24,45)＋ EQ \F(3,5)× EQ \F(15,45)＝ EQ \F(31,75)；
P(X＝5)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(C,C)＋ EQ \F(3,5)× EQ \F(CC,C)＝ EQ \F(2,5)× EQ \F(6,45)＋ EQ \F(3,5)× EQ \F(24,45)＝ EQ \F(28,75)；
P(X＝6)＝ EQ \F(3,5)× EQ \F(C,C)＝ EQ \F(3,5)× EQ \F(6,45)＝ EQ \F(2,25)．
所以，X的分布列为
………7分
X的数学期望E(X)＝3× EQ \F(2,15)＋4× EQ \F(31,75)＋5× EQ \F(28,75)＋6× EQ \F(2,25)＝ EQ \F(22,5)．………8分
19.（Ⅰ）
，
.………3分
当时，，………5分
所以关于单调递减.
所以.
所以对任意，于是，
所以是等差数列.………7分
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则
.
所以 ………2分
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列. ………4分
②当时，对任意，
此时，是等差数列.………6分
③当时，
当时，有.所以

对任意正数，取正整数，
故当时，.………10分
X
3
4
5
6
P
EQ \F(2,15)
EQ \F(31,75)
EQ \F(28,75)
EQ \F(2,25)