浙江省杭州市竺可桢学校教育集团滨文中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市竺可桢学校教育集团滨文中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷，共23页。
A．B．
C．D．
2．（3分）一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
3．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x+3＞y+3B．x﹣3＞y﹣3C．﹣3x＞﹣3yD．
4．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
5．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（ ）
A．25B．45C．50D．100
8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．（3分）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（ ）
A．2B．C．3D．
10．（3分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，下列结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④AF+BF＝DF；其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．1D．4
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）根据下列数量关系列不等式：x的3倍与1的差不小于2 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 ．
13．（3分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 ．
14．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，若BC′＝9，B′C＝2，则BB′的长度是 ．
15．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 cm．
16．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）在6×8长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．△ABC是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．
（1）在图甲中画格点△ADC，使△ADC与△ABC全等．
（2）在图乙中画格点△DBC，使△DBC与△ABC不全等但面积相等．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；
（2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．
19．（8分）如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数．
20．（8分）△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．
21．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
23．（10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
24．（12分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
2024-2025学年浙江省杭州市竺可桢学校教育集团滨文中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【答案】A
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
【解答】解：∵﹣1处是空心圆点，且折线向右，
∴这个不等式可能是x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
3．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x+3＞y+3B．x﹣3＞y﹣3C．﹣3x＞﹣3yD．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等号的方向不变，即x+3＞y+3，原变形正确，故此选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，即﹣3x＜﹣3y，原变形错误，故此选项符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等号的方向不变，即＞，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【解答】解：设第三边的长为x cm，
则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3
【答案】B
【分析】要找出命题是假命题的选项，即是找出满足条件，不满足结论的选项；本题中条件为a2＞b2，结论为a＞b，即需找出满足a2＞b2，但不满足a＞b的选项；从选项中先找出满足a2＞b2的选项，再从中找出不满足a＞b的选项，问题即可解答．
【解答】解：根据题意可知，当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，但不满足a＞b．
故选：B．
【点评】本题侧重考查命题与推理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（ ）
A．25B．45C．50D．100
【答案】C
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理证明DC＝DH＝4，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
由作图可知，AD平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝4，
∴S△ABD＝•AB•DH＝×25×4＝50，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【分析】先由平行线的性质与角平分线的定义证得∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，再由等腰三角形的判定即可得出BD＝FD，CE＝FE，然后根据三角形周长公式求解即可．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得BD＝FD，CE＝FE是解题的关键．
9．（3分）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△ADF与△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴DF＝CD，
∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ADF与△BDC全等解答是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，下列结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④AF+BF＝DF；其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．1D．4
【答案】D
【分析】①根据等边三角形的性质可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，进而推出∠DAC＝∠BAE，再结合SAS即可证明△AEB≌△ACD，由全等三角形的性质得出结论；
③根据三角形外角的性质可得∠BFC＝∠BDF+∠DBF，再结合全等三角形的性质可得∠ADC＝∠ABE，至此不难求出结果；
②过点A分别作BE，CD的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N，根据全等三角形的性质可得S△AEB＝S△ACD，进而得出AM＝AN，据此证明结论；
④由②得NF＝MF，∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，进而可得NF＝MF＝AF，再结合全等三角形的知识可证出BM＝DN，至此问题得解．
【解答】解：①∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△AEB和△ACD中，
，
∴△AEB≌△ACD（SAS），
∴BE＝DC，故正确；
③∵△AEB≌△ACD，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠BDF+∠DBA+∠ABE＝∠DBA+∠BDF+∠ADC＝120°，故正确；
②过点A分别作BE，CD的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N．
∵△AEB≌△ACD，
∴S△AEB＝S△ACD，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，故正确．
④由②得NF＝MF，∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，
∴NF＝MF＝AF，
在Rt△AND和Rt△AMB中，
，
∴Rt△AND≌Rt△AMB（HL），
∴BM＝DN，
∴AF+BF＝BM+NF＝DN+NF＝DF，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）根据下列数量关系列不等式：x的3倍与1的差不小于2 3x﹣1≥2 ．
【答案】3x﹣1≥2．
【分析】x的3倍与1的差表示为3x﹣1，不小于2表示为≥2，进而可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：3x﹣1≥2．
故答案为：3x﹣1≥2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 25° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠A＝25°，
故答案为：25°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
13．（3分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为 105° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，若BC′＝9，B′C＝2，则BB′的长度是 3.5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据全等三角形的性质，得出对应边相等，再根据线段的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴BC＝B'C'，
∴BB'＝CC'，
又∵BC′＝9，B′C＝2，
∴BB′的长度是（9﹣2）÷2＝3.5，
故答案为：3.5
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等．
15．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 17 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 3 ．
【答案】3．
【分析】由题意得，正方形ABCD的面积＝13，正方形EFGH的面积＝1，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，EF＝b﹣a（b＞a），根据勾股定理得到a2+b2＝13，解方程组即可得到结论．
【解答】解：如图，由题意得，正方形ABCD的面积＝13，正方形EFGH的面积＝1，
∴AD2＝13，EF2＝1，
设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，EF＝b﹣a（b＞a），
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，b﹣a＝1，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6，
解方程组，
解得（舍去负值），
∴DE＝3，
即直角三角形的较长直角边长为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）在6×8长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．△ABC是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．
（1）在图甲中画格点△ADC，使△ADC与△ABC全等．
（2）在图乙中画格点△DBC，使△DBC与△ABC不全等但面积相等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在BC所在的格线上取格点D，使CD＝CB，作△ADC，△ADC即为所求；
（2）在过A且平行于BC的格线上取格点D，作△DBC，则△DBC即为所求（答案不唯一）．
【解答】解：（1）在BC所在的格线上取格点D，使CD＝CB，作△ADC，如图甲：
△ADC即为所求；
（2）在过A且平行于BC的格线上取格点D，作△DBC，如图乙，则△DBC即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；
（2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出△ADC的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
直线MN即为所求；
（2）由（1）可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴△ACD的周长为＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，
∵AB＝8，AC＝4，
∴△ACD的周长为8+4＝12．
【点评】本题考查基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8分）如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠DAC，根据三角形的外角性质求出∠ADB．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
20．（8分）△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算a2+b2，再利用因式分解可得a2+b2＝（m2+n2）2＝c2，进而可得此三角形是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形，
∵a2+b2，
＝（m2﹣n2）2+（2mn）2，
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2，
＝m4+2m2n2+n2，
＝（m2+n2）2，
＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
21．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D＝∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形；
（2）根据勾股定理计算EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的长为12．
【点评】本题考查的重点是等腰三角形的定义，熟练运用角度之间的转换，掌握勾股定理求线段的长度．
23．（10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明；
（2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC＝＝6，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8．
综上所述，BC的长是6或8．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
24．（12分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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