北京市海淀区清华附中2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份北京市海淀区清华附中2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共35页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8B．7×10﹣9C．0.7×10﹣8D．0.7×10﹣9
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5
C．（ab）3＝a3b3D．a6÷a2＝a3
4．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝90°
C．a：b：c＝2：3：4D．b2＝a2﹣c2
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如果a﹣b＝3，那么代数式的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
7．（3分）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．a2D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二.填空题（本题共24分，每题3分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝ ．
11．（3分）若关于x的方程＝8的解为x＝，则m＝ ．
12．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 ．
14．（3分）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形ABCD，和如图3所示的边长为1的正方形EFGH，则图1中菱形的边长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．
16．（3分）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝ （用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是 时，这种产品的成本最低．
三.解答题（本题共52分，第17题5分；第18题12分；第19-21题，每题5分；第22题6分；第23-24题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
18．（12分）计算
（1）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+3）（x﹣2）；
（3）；
（4）．
19．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
20．（5分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．
（1）请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；
（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．
21．（5分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 （用含a的式子表示）．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
23．（7分）平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O．M为线段OC上一动点（不与点C重合），点N在射线OD上，连接AN、MN．
（1）如图1，若∠AOD＝60°，CM＝ON，当M是OC中点时，求∠NAC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝45°，AN＝MN．
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段CM、ON之间的数量关系并证明．
24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝ °；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝ ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝ ．
四、附加题：（本题共20分，第25-27题，每题3分；第28题4分；第29题7分）
25．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
26．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 ．
27．（3分）如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 米．
28．（4分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ；
（2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ．
29．（7分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，P为CA延长线上一点，作A关于BP的对称点D，连接CD交BP于F．过B作BM垂直于PD延长线于M，设∠ABP＝α．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BM＝DM；
（3）当0°＜∠ABP＜45°时，N为AC中点，用等式表示线段MN，CD之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8B．7×10﹣9C．0.7×10﹣8D．0.7×10﹣9
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5
C．（ab）3＝a3b3D．a6÷a2＝a3
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C、（ab）3＝a3b3，故本选项符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝90°
C．a：b：c＝2：3：4D．b2＝a2﹣c2
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D 是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、设a＝2x，b＝3x，c＝4x，
∵a2+b2＝4x2+9x2＝13x2，c2＝16x2，a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵b2+c2＝a2符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理求出AD，再根据三角形的中线的概念解答即可．
【解答】解：∵E，F分别是AC，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3分）如果a﹣b＝3，那么代数式的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【答案】A
【分析】将分式运算后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝2（b﹣a），
∵a﹣b＝3，
∴b﹣a＝﹣3，
故原式＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．（3分）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．a2D．
【答案】B
【分析】过A作AH⊥BC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC＝a，又∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，求出AH＝a，即可求出菱形ABCD的面积．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝a，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AH＝AB＝a，
∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝a2．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出△ABC是等边三角形．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】连接AP，CP，BP，根据轴对称的性质得AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判断①③，根据∠BAC＝90°，可得四边形AMPN为矩形，即可判断②．
【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，
∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，
∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，
∴AD＝AP，AE＝AP，
∴AE＝AD，故①正确；
∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
∴∠DPE＝90°，故②正确；
∵AC为PD的垂直平分线，
∴AD＝AP，CD＝CP，
∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，
∴∠ADC＝∠APC，
同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，
∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．
二.填空题（本题共24分，每题3分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：根据题意可知，
9﹣3x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数不小于零是解题的关键．
10．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝ 3m（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3m（m﹣2）（m+2）．
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3m3﹣12m
＝3m（m2﹣4）
＝3m（m﹣2）（m+2）．
故答案为：3m（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
11．（3分）若关于x的方程＝8的解为x＝，则m＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：mx+1＝8x，
根据题意将x＝代入方程得：m+1＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
12．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为 ．
【答案】．
【分析】连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 （3，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F，由菱形的性质得AC⊥BD，BE＝DE＝BD，再求出BD＝BF+DF＝8，则BE＝DE＝4，得OC＝EF＝3，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F，
则OC＝EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BE＝DE＝BD，
∵点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），
∴BF＝1，DF＝7，BD∥x轴，
∴BD＝BF+DF＝8，
∴BE＝DE＝4，
∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝3，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为：（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（3分）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形ABCD，和如图3所示的边长为1的正方形EFGH，则图1中菱形的边长为 2 ．
【答案】2．
【分析】将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边即可．
【解答】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：，
化简得：ab＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7﹣3＝4，
∴菱形的边长＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．
【答案】8．
【分析】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．
16．（3分）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝ x1+2x2+3x3 （用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是 1，5，1 时，这种产品的成本最低．
【答案】x1+2x2+3x3；1，5，1．
【分析】先根据总重＝各类型数量×单位重量之和，得出W，再判断出成本最低时总量最低，得出W＝13，再试根求出答案即可．
【解答】解：∵总重＝各类型数量×单位重量之和，
∴W＝x1+2x2+3x3，
当W≥13时，由题得：当产品成本最低时，产品原料总重也应最低，
∴W＝13，即x1+2x2+3x3＝13，
∵x1，x2，x3均为正整数，
由配凑试根得：x1＝1，x2＝5，x3＝1．
故答案为：x1+2x2+3x3；1，5，1．
【点评】本题考查了不等式的应用，解题关键是利用配凑试根法求方程的解．
三.解答题（本题共52分，第17题5分；第18题12分；第19-21题，每题5分；第22题6分；第23-24题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
【答案】5﹣3．
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2+2﹣＝5﹣3．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（12分）计算
（1）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+3）（x﹣2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）10a4；
（2）3x2﹣x+5；
（3）；
（4）4+．
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；
（2）先计算括号，再合并同类项；
（3）先计算括号，再计算乘除；
（4）先计算括号，再合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式＝a4+9a6÷a2
＝a4+9a4
＝10a4；
（2）原式＝4x2﹣1﹣（x2+x﹣6）
＝4x2﹣1﹣x2﹣x+6
＝3x2﹣x+5；
（3）原式＝[]×
＝×
＝；
（4）原式＝×+×﹣2
＝4+3﹣2
＝4+．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，属于中考常考题型．
19．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】见试题解答内容
【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（5分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．
（1）请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；
（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）如图所示；（2）见解析．
【分析】（1）在过C点且平行于AB的直线上截取4个单位长度，即找到点D；
（2）证明三角形BCE是直角三角形，BC⊥EC，再由BC∥AD，即可证明．
【解答】解：（1）所作点D如图所示：
（2）由图得：BC＝＝2，CE＝＝4，BE＝10，
∴BC2+EC2＝BE2，
∴三角形BCE是直角三角形，
∴BC⊥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AD⊥CE．
【点评】本题考查了作图能力，平行四边形的判断及勾股定理的逆定理等知识点是解题关键．
21．（5分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 3a （用含a的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）①，；
②方案C的最终过滤效果最好；
（3）3a．
【分析】（1）根据水中的杂质含量即可求解；
（2）①同样根据水中的杂质含量即可求解；
②当第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，用三次最终过滤后的水中杂质含量相比较即可；
（3）将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，因此在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a、3a、2a、a时，发现将第一次净水材料用量定为5a与a、4a与2a时的过滤效果一样，因此将第一次净水材料用量定为3a与4a的过滤效果进行比较，可得3a的最终过滤效果最好．
【解答】解：（1）水中的杂质含量为，
∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ＝，
故答案为：．
（2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：；
②﹣＝，
∵a＞0，
∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0
∴＞，
同理可得：＞，
∴＜＜，
∴方案C的最终过滤效果最好；
（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为；
将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为4a时相同；
将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为5a时相同；
∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，
同理，可得﹣＜0，
∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，
∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．
故答案为：3a．
【点评】本题考查的是代数式的相关知识，解题的关键是正确运用代数式的减法、乘法与加法运算．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
23．（7分）平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O．M为线段OC上一动点（不与点C重合），点N在射线OD上，连接AN、MN．
（1）如图1，若∠AOD＝60°，CM＝ON，当M是OC中点时，求∠NAC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝45°，AN＝MN．
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段CM、ON之间的数量关系并证明．
【答案】（1）30°；
（2）①图形见解析；②ON＝CM，证明见解析．
【分析】（1）取OA的中点P，连接PN，证OM＝ON，得∠OMN＝∠ONM，再证∠OMN＝∠ONM＝30°，进而证∠NAC＝∠ANP，然后证△OPN是等边三角形，得∠OPN＝60°，即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；
②过点A作AG⊥BD于点G，过M作MH⊥BD于点H，证△AOG和△OMH是等腰直角三角形，得AG＝OA＝OC，OH＝OM，再证△AGN≌△NHM（AAS），得AG＝NH，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，取OA的中点P，连接PN，
则OP＝AP＝OA，
∵M是OC中点，
∴OM＝CM＝OC，
∵CM＝ON，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM，
∵∠AOD＝∠OMN+∠ONM＝60°，
∴∠OMN＝∠ONM＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴ON＝OM＝OA，
∴AP＝OP＝ON，
∴∠NAC＝∠ANP，
∵∠AOD＝60°，
∴△OPN是等边三角形，
∴∠OPN＝60°，
∵∠OPN＝∠NAC+∠ANP，
∴∠NAC＝∠OPN＝30°，
即∠NAC的度数为30°；
（2）①依题意补全图形如图2；
②ON＝CM，证明如下：
如图3，过点A作AG⊥BD于点G，过M作MH⊥BD于点H，
则∠AGN＝∠NHM＝90°，
∵∠MOH＝∠AOD＝45°，
∴△AOG和△OMH是等腰直角三角形，
∴AG＝OA＝OC，∠OMH＝45°，OH＝OM，
∵AN＝MN，
∴∠NAM＝∠NMA，
∵∠ANG＝∠AOG+∠NAM＝45°+∠NAM，∠NMH＝∠OMH+∠NMA＝45°+∠NMA，
∴∠ANG＝∠NMH，
在△AGN和△NHM中，
，
∴△AGN≌△NHM（AAS），
∴AG＝NH，
∴OC＝ON+OH，
∴（OM+CM）＝ON+OM，
∴ON＝CM．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝ 30 °；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝ 6 ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝ 3或﹣6 ．
【答案】（1）①30；②P（，3）；
（2）①6；3或﹣6．
【分析】（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．可知△MNQ为等边三角形，l与x轴所夹锐角为45°，则QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，即可求得答案；
②先证明△POF≌△QOE（AAS），根据全等三角形的性质即可求得答案；
（2）①过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，根据定义可得QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案；
②分两种情况：t＞0或t＜0，分别画出图象，结合定义即可求得答案．
【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，
∵M（2，0），N（4，0），
∴MN＝2，OM＝2，
∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN，
∴QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，
∴QE＝＝＝，OE＝OM+ME＝2+1＝3，
∵OM＝QM，
∴∠QOM＝∠OQM＝30°，
∵点P为M，N的45°点，
∴l与x轴所夹锐角为45°，
∵点P关于直线l的对称点为Q，
∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°，
故答案为：30．
②在△POF和△QOE中，
，
∴△POF≌△QOE（AAS），
∴OF＝OE＝3，PF＝QE＝，
∴P（，3）；
（2）①∵M（m，0），N（m+t，0），
∴MN＝m+t﹣m＝t，
∴当t＝2时，MN＝2，
如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，
∵点P为M，N的60°点，
∴QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，
∴∠PKO＝30°，
∵P、Q关于直线l对称，
∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°，
∴OK＝4，
∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OWK＝∠QKL，
∴OW＝OK＝4，
∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3，
在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN，
∴WQ＝2QE＝2，
∴WE＝＝＝3，
∴m﹣3＝3，
∴m＝6，
故答案为：6．
②∵m＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧，
∵x＝2与l的夹角为60°，
∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°，
∴∠HTK＝60°，
∴△TOK是等腰三角形，
∴HK＝OH＝2，
∴∠Q1KM＝30°，
∵∠Q1MK＝60°，
∴Q1M⊥Q1K，
∴MK＝2Q1M，即6＝2t，
∴t＝3；
当t＜0时，点N2在点M的左侧，
同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t，
∴t＝﹣6；
综上所述，t＝3或﹣6，
故答案为：3或﹣6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键．
四、附加题：（本题共20分，第25-27题，每题3分；第28题4分；第29题7分）
25．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【答案】．
【分析】根据垂直定义可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，AE＝DE＝CE＝2，从而得到CD＝4，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中线，AB＝4，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
26．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 ．
【答案】．
【分析】连接CE，由矩形的性质得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，因为OE⊥AC，所以OE垂直平分AC，则CE＝AE，由勾股定理得（8﹣AE）2+62＝AE2，求得AE＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴DE＝8﹣AE，
∵DE2+CD2＝CE2，
∴（8﹣AE）2+62＝AE2，
解得AE＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
27．（3分）如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 8 米．
【答案】8．
【分析】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC＝＝24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD＝＝15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑动了8米．
故答案为：8．
【点评】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AC、CD的长．
28．（4分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上要求的形式：＝ a﹣2﹣ ；
（2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 2或6 ．
【答案】（1）a﹣2﹣；
（2）2或6．
【分析】（1）利用分式的加减法则及分式的性质进行变形即可；
（2）将原式变形后根据题意确定符合题意的a的值即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣
＝a﹣2﹣，
故答案为：a﹣2﹣；
（2）原式＝
＝+
＝3+，
∵原式的值为正整数，a为正整数，
∴a﹣1＝1或5，
解得：a＝2或6，
故答案为：2或6．
【点评】本题考查分式的加减及分式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键．
29．（7分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，P为CA延长线上一点，作A关于BP的对称点D，连接CD交BP于F．过B作BM垂直于PD延长线于M，设∠ABP＝α．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BM＝DM；
（3）当0°＜∠ABP＜45°时，N为AC中点，用等式表示线段MN，CD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）见解析过程．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）由“SSS”可证△PAB≌△PDB，可得∠PDB＝∠PAB＝135°，由等腰三角形的性质可得结论；
（3）由等腰直角三角形的性质可得MN＝MH，∠HMN＝90°，HN＝MN，BN＝CN＝AN，BN⊥AC，由“SAS”可证△DMH≌△BMN，可得HD＝BN，∠HDM＝∠NBM，可证四边形HDCN是平行四边形，可得HN＝DC，即可求解．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：如图，连接BD，
在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠PAB＝180°﹣45°＝135°，
∵点A关于BP的对称点是点D，
∴PB垂直平分AD，
∴AP＝PD，AB＝BD，
∵PB＝PB，
∴△PAB≌△PDB（SSS），
∴∠PDB＝∠PAB＝135°，
∴∠BDM＝180°﹣135°＝45°，
∵BM⊥PM，
∴∠BMD＝90°，
∴∠MBD＝∠MDB＝45°，
∴BM＝DM；
（3）解：CD＝MN，理由如下：
如图，以MN为直角边作等腰直角三角形MNH，则MN＝MH，∠HMN＝90°，HN＝MN，连接HN，DH，
∵△ABC是等腰直角三角形，点N是AC的中点，
∴BN＝CN＝AN，BN⊥AC，
∵∠DMB＝∠HMN＝90°，
∴∠HMD＝∠NMB，
又∵MH＝NM，DM＝MB，
∴△DMH≌△BMN（SAS），
∴HD＝BN，∠HDM＝∠NBM，
∴HD＝NC，
∵∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴∠MPB+∠MBN＝180°，
∵∠HDM+∠HDP＝180°，
∴∠HDP＝∠MPN，
∴HD∥PC，
∴四边形HDCN是平行四边形，
∴HN＝DC，
∴DC＝MN．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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第一次过滤用净水材料的单位量
水中杂质含量
第二次过滤用净水材料的单位量
第二次过滤后水中杂质含量
A
6a
/
/
B
5a
a
C
4a
2a
方案编号
第一次过滤用净水材料的单位量
水中杂质含量
第二次过滤用净水材料的单位量
第二次过滤后水中杂质含量
A
6a
/
/
B
5a
a
C
4a
2a