第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型（原卷版）-2024-2025学年高二物理上学期中期末复习精细讲义

这是一份第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型（原卷版）-2024-2025学年高二物理上学期中期末复习精细讲义，共19页。试卷主要包含了求电场力做功的四种方法，电场中的功能关系，电场中功能关系问题的分析方法，解题思路—单个物体或连接体等内容，欢迎下载使用。

考点1：电场中的功能关系
1.求电场力做功的四种方法
2.电场中的功能关系
3.电场中功能关系问题的分析方法
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。
（1）受力情况分析和运动情况分析。
（2）分析各力做功的情况，做正功还是负功。
（3）分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。
（4）选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。
4.解题思路—单个物体或连接体
（1）处于平衡状态：
①利用整体法或隔离法进行受力分析；
②列平衡方程；
③寻找连接体间的关联量。
（2）运动状态：
①利用隔离法进行受力分析；
②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程；
③寻找连接体间的关联方程。
【典例1】如图所示，半圆槽光滑且绝缘，固定在水平面上，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过P点时速度为零，则下列说法错误的是（ ）
A．小球a从N到P的过程中，动能先增大后减小
B．小球a从N到P的过程中，库仑力增大
C．小球a从N到P的过程中，重力势能减少量等于电势能增加量
D．小球a从N到P的过程中，电势能一直减小
【典例2】如图所示，一块足够大的粗糙绝缘薄板竖直固定，且与等量异种点电荷连线的中垂面重合，A、O、B为薄板上同一竖直线上的三点，O在点电荷的连线上，AO=OB，一个带电小物块（可视为质点）从A点以初速度v0竖直向下运动，最后静止在B点，不考虑物块电荷量的变化，则物块从A运动到B的过程中（ ）
A．速度一直减小，经过O点时的速度为22v0
B．加速度先减小后增大，经过O点时加速度最小
C．电势能先减小后增大，经过O点时电势能最小
D．机械能一直减小，AO段损失的机械能比OB段损失的机械能多
【典例3】如图所示，质量均为m的滑块A、B,A不带电，B带正电电荷量为q,A套在固定竖直杆上，B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过铰链及长度为L的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电场强度为E的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．A的机械能最小时，B的加速度大小为qEm
B．A运动到最低点时，B的速度为零
C．A、B组成的系统机械能不守恒
D．A运动到最低点时，滑块A速度大小为2gL+qELm
【典例4】（多选）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C（均可视为点电荷），质量为m，带电量为+q，A、B之间与B、C之间各装有一根长为L的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质铰链连接。A、C放在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图（a）所示。现解除锁定，直至B刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为g，以无限远处为零电势点，距离电荷量为Q的点电荷r处的电势为kQr，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻，A、B、C系统所具有的电势能为3kq2L
B．B落地时，A、B、C系统所具有的电势能为4kq23L
C．该过程中，A、B、C系统的机械能守恒
D．B落地时的速度大小为3gL+kq2mL
【典例5】（多选）如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别是2m和m。劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ的绝缘斜面处于沿斜面向上的匀强电场中。开始时，物体B受到沿斜面向上的外力F=3mgsinθ的作用而保持静止，且轻绳恰好伸直。现撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度，不计一切摩擦。则在此过程中（ ）
A．物体B所受电场力大小为2mgsinθ
B．B的速度最大时，弹簧的伸长量为3mgsinθk
C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为3gsinθ
D．物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量
考点2：重电复合场中的直线及类抛体运动模型
1.重电复合场中的直线运动模型
2.重电复合场中的类抛体运动模型
类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。
3.直线及类抛体运动的条件总结
【典例6】某空间有平行于纸面的匀强电场，一带电荷量为−q（q>0）的质点（重力不计）在如图所示的恒定拉力F的作用下由M点开始沿直线匀速运动到N点。图中电场未画出，拉力F和直线MN间的夹角为θ，M、N两点间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为Fcsθq
B．M、N两点的电势差为Fdcsθq
C．带电质点由M点运动到N点的过程中，电势能减少了Fdcsθ
D．若要使带电质点由N点向M点做匀速直线运动，则F必须反向
【典例7】（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为L，两极板间距离为d。一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上极板的右端点和下极板的左端点接触，如图所示。一质量为m、带电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g，电场强度E=mgq，下列说法正确的是（ ）
A．在此过程中带电小球的加速度大小为2g
B．若L=2d，则带电小球垂直落在挡板上
C．此过程所需的时间为dg
D．在此过程中电场力对带电小球做的功为mgd
【典例8】（多选）空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间t1回到A点；第二次以同样的速率v0竖直向上抛出，经历时间t2经过水平线上的C点，B为小球运动轨迹的最高点．电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（ ）
A．第一次抛出后，小球做匀变速曲线运动
B．t1:t2=3:2
C．电场沿水平方向时，电势差UBC=3UAB
D．电场强度的最小值为3mg2q
【典例9】（多选）如图所示，水平放置的平行板电容器上下极板M、N分别带有等量异种电荷，电荷量大小均为Q，两极板间距为d，质量为m、电荷量为q的带负电微粒从上极板M的边缘以初速度v0射入，恰好沿直线从下极板N边缘射出，重力加速度为g。则（ ）
A．两极板间的电压UMN=−mgdq
B．微粒的机械能减小mgd
C．电容器的电容C=Qqmgd
D．保持Q不变，仅将极板N向下平移，微粒仍沿直线从极板间射出
【典例10】（多选）如图所示，在空间中水平面MN的下方分布着方向竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方距MN高度为h的A点以一定的初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平。已知A、B、C三点在同一直线上，AB=2BC，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．小球从B点运动到C点的时间为从A点运动到B点的时间的2倍
C．匀强电场的电场强度大小为2mgq
D．小球从B点到C点电势能增加了32mgℎ
考点3：重电复合场中的圆周运动（等效重力法）
1.模型概述
重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。
两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。
2.解题方法
等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。
方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝eq \f(F合,m) 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。
3.模型图
【典例11】（多选）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度v0后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度E=3mg4q，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D点时的动能最小
B．小球运动到B点时的机械能最大
C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为43
D．若v0=23gR2，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动
【典例12】（多选）如图所示，绝缘光滑轨道ABCD竖直放在与水平方向成θ=45°的匀强电场中，其中BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为m、电荷量为+q的小球（大小忽略不计），放在水平面上A点由静止开始释放，恰好能通过半圆轨道最高点D，落地时恰好落在B点。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度E=2mgq
B．起点A距B点的距离L=2.5R
C．过D点的速度为v=gR
D．AB两点的电势差为UAB=mgL2q
【典例13】（多选）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为mgtanθq
B．小球获得初速度的大小为5gLcsθ
C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为mgLtanθ1+sinθ
D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【典例14】如图所示，ABCD是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径AC方向建立x轴，竖直直径BD方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)小球落回到A点时的速率；
(2)电场强度的大小；
(3)小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小。
【典例15】如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直固定放置，其半径为R，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，半圆轨道最低点与一水平粗糙绝缘轨道MN相切于N点。一小滑块（可视为质点）带正电且电荷量为q，质量为m，与水平轨道间的滑动摩擦力大小为0.5mg，现将小滑块从水平轨道的M点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点H。已知电场强度大小为3mgq，重力加速度大小为g，求：
(1)小滑块在最高点H的速度vH大小；
(2)M点距半圆轨道最低点N的水平距离L；
(3)小滑块通过半圆轨道中点P时，小滑块对轨道的压力F的大小。
一、单选题
1．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．电场强度的最小值等于mgq
B．电场强度的最大值等于mgsinθq
C．带电油滴的机械能不可能增加
D．静电力可能对带电油滴不做功
2．一质量为m，电荷量为q的带负电的小球，以初速度v0从匀强电场中的A点水平抛出后经过某一定点B，如图所示，电场强度大小为E0，方向竖直向下。下列说法正确的是（ ）
A．可以计算经过B点的时间
B．可以计算经过B点时的竖直方向的速度
C．初速度为2v0，要使小球仍能经过B点，电场强度大小为22E0
D．只要能够经过B点，过B点时的速度偏向角为一定值，与初速度大小无关
3．如图所示，空间内存在方向与竖直方向夹角为60°的匀强电场，用绝缘细绳悬挂质量为m、电荷量为q的带电小球，平衡时绝缘细绳与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场强度大小为3mg2q
C．剪断绝缘细绳后小球做匀变速曲线运动
D．撤去电场的瞬间，小球的瞬时加速度为g2
4．真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为m、带电的小球在B点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长度为l，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场强度的大小E=3mg5q
C．若将小球从A点由静止释放，则小球从A点运动到C点的过程中电势能增加了0.75mgl
D．若将小球从A点由静止释放，则小球运动到C点受到细线的拉力大小为3mg
5．如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势φ沿x轴的分布如图所示，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电量为−q的粒子（不计重力），以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．x1处的电场强度大于x2处的电场强度
B．从x1到x3点的过程中，粒子的电势能先增大后减小
C．若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为qφ0m
D．若v0=2qφ0m，则粒子在运动过程中的最大动能为2qφ0
二、多选题
6．如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为M，最低点为N，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球从M点运动到N点的过程中，电势能增大
B．小球从M点运动到N点的过程中，机械能减少，是因为静电力做负功
C．小球带正电
D．小球在N点受到绳的拉力最大，在M点受到绳的拉力最小
7．如图所示，足够长的倾角为30°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有与斜面平行向上的匀强电场，一质量为0.1kg、带正电的物块（视为质点）以一定的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3m/s2、方向沿斜面向下，取重力加速度大小g=10m/s2，则在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块的机械能和电势能之和减小
B．物块受到的电场力大于0.2N
C．电场力做的功小于物块克服摩擦力与克服重力做的功之和
D．物块的机械能守恒
8．如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。将质量为m=0.01kg、带电量为+q的小滑块从斜面上A点静止释放，经过B点时加速度为零，后继续运动至D点。已知O、A两点等高，OA=OD=32m,OD⊥OB,OC⊥AD，重力加速度大小取g=10m/s2，静电力常量k=9×109N⋅m2/C2，下列关于小滑块的说法正确的是（ ）
A．经过C点时机械能最小
B．从A到D过程中电势能和动能之和变小
C．电荷量q为16×10−5C
D．在D点时的速度为152m/s
9．如图所示，带正电的小球A固定在竖直坐标轴的原点处，在h和2h处产生的电场强度大小分别为E1和E2。带电小球B在h处由静止释放，恰好能运动到2h处。已知单个点电荷Q周围空间某点的电势φ=kQr（取无穷远处电势为零），r为该点到点电荷的距离。两个小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球B带正电
B．E1=2E2
C．小球B在1+22ℎ处速度最大
D．若小球B在−ℎ处由静止释放，到达−2ℎ处的速度大小为2gℎ
10．如图所示，空间某水平面内固定一均匀带电圆环，电荷量为Q，其圆心为O。P、Q是圆环轴线上关于圆心O对称的两点，OP间距为L，有一电荷量为q的小球恰能静止在P点，P点与圆环上任意一点的连线与PO间的夹角均为θ。已知静电力常量为k，重力加速度为g，现给小球一沿PO方向的初速度v0，下列说法正确的是（ ）
A．小球从P点运动到O点的过程中，做加速运动
B．小球的质量为kQqcs3θgL2
C．小球运动到Q点时的加速度为0
D．小球运动到Q点的速度大小为4gL+v02
11．空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q），在A点速度为v1，方向水平向右，至B点速度为v2，v2与水平方向间夹角为α，A、B间高度差为H，以下判断不正确的是（ ）
A．A、B两点间电势差U=mv22−mv122q
B．小球由A至B，电势能的减少量为12mv22−12mv12−mgH
C．小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加
D．小球重力在B点的瞬时功率为mgv2csα
12．如图所示，可视为质点的带电滑块b固定在绝缘粗糙的水平面上，另一可视为质点的带电滑块a由M点以初速度v0沿水平面向左运动，当其运动到图中的N点时速度最小，为v。已知滑块a所带的电荷量为+q、质量为m，整个过程所受的摩擦力恒为Ff，滑块b所带的电荷量为−Q，xMN = d，静电力常量为k。则下列说法正确的是（ ）
A．滑块a由M向N运动的过程中，库仑力逐渐增大，加速度逐渐减小
B．滑块a由M向N运动的过程中，克服摩擦力做功的值等于电势能的减少量
C．N点到滑块b所在位置的距离为kQqFf
D．滑块b形成的电场中，M、N两点的电势差大小为2Ffd+mv22q
三、解答题
13．研究人员利用电场控制带电物体的运动，如图所示，实验区域内充满与水平面夹角θ=53°斜向上的匀强电场，电场强度大小E=200V/m。BC为竖直固定的绝缘光滑半圆弧轨道，O为圆心，半径R=1m，圆弧BC与绝缘光滑水平面AB平滑连接并相切于B点，AB间距离s=1.5m。一质量m=0.016kg、电荷量q=1×10−3C的带正电小球，轻放于水平面上A点，一段时间后，小球从C点飞出，立即撤去圆弧轨道。不考虑空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)小球通过C点时的速度大小vC；
(2)小球通过C点时对圆弧轨道的压力大小FC；
(3)小球从圆弧轨道C点飞出后，运动到距C点1.5m处所用的时间t。
14．如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的14光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度E=mgq，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
(1)小球从A点开始到达B点的过程中电场力做的功；
(2)小球从A点开始到达C点的过程中，小球的电势能变化了多少；
(3)小球从A点开始到达C点的过程中对轨道的最大压力。
考点1
电场中的功能关系
考点2
重电复合场中的直线及类抛体运动模型
考点3
重电复合场中的圆周运动（等效重力法）
定义式法
WAB＝Flcsα＝qEdcsα（此公式只适用于匀强电场）可变形为：W＝qEd（d＝lcs α）
d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。
非匀强电场中可判断大小。
电势差法
WAB＝qUAB＝q（φA－φB）此公式适用于任何电场
①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定电场力做正功还是负功
②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝eq \f(WAB,q)，若UAB>0，则φA－φB>0，即φA>φB；若UAB