考点21 功 功率和机车启动问题（核心考点精讲精练）-最新高考物理一轮复习考点精讲（新高考专用）

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1. 3年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于运动的描述考查共计26次，主要考查：
1. 做功的判断和摩擦力做功的计算方法；
2. 利用动能定理、微元法、变力化恒力和图像法求变力做功；
3. 机车恒定的牵引力启动和恒定功率启动的问题分析；
【备考策略】熟练掌握功和功率的计算方法；灵活的选择公式和求解瞬时功率和平均功率；
熟练掌握并区分机车的两种启动方式，学会运用机车启动知识去解释起重机牵引物体的运动方式。
【命题预测】本节内容近几年来，是每年各省高考必考的内容之一，主要考察功和功率的计算、所涉及到的题型多种多样，一般与动能定理相结合，构成较为复杂的题型，不论是选择题还是解答题，往往都是以压轴题的形式出现，综合性较强。本节内容常常还会与电场和磁场相关的知识结合在一起，综合性也较高，2024年考生，在学习本节内容时，一定要多思考，理解物体的过程变化，能量的相互转化过程。
功的理解
（1）定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
（2）公式：W＝Flcsa。
①如图所示，α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
②该公式只适用于恒力做功。
（3）功的正负
功率的理解
（1）定义：功与完成这些功所用时间的比值。
（2）物理意义：描述力对物体做功的快慢。
（3）公式
①P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率。
②P＝Fvcsα(α为F与v的夹角)
v为平均速度，则P为平均功率；
v为瞬时速度，则P为瞬时功率；
c. 当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
3．额定功率与实际功率
（1）额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率。
（2）实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。
4．平均功率的计算方法
考法1 恒力做功
1．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcsα求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。
2．常见力做功比较
（1）重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．
（2）滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．
（3）一对作用力与反作用力的功
（4）摩擦力做功有以下特点：
①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功,也可以做负功,还可以不做功。
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零;相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零,且总为负值。
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能,内能Q=Ffx相对。
（5）一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
角度1：做功的判断
【典例1】（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【详解】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球的速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A错误，C正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据和（重力不变）可知小球的向心加速度和拉力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD错误。
故选C。
角度2：摩擦力做功的判断
【典例2】（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体（可视为质点）放在木板上最左端，现用水平恒力F作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动。已知物体和木板之间的摩擦力为f。当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此过程中（ ）
A．力F对物体做功大小为B．摩擦力对物体做功为
C．摩擦力对物体做功为D．摩擦力对木板做功为
【答案】AD
【详解】A.根据功的计算式，力F对物体做功，故A正确；
BC．小物块受到的摩擦力向左，摩擦力对物体做功，故BC错误；
D．木板受到的摩擦力向右，摩擦力对木板做功，故D正确。
故选AD。
1.（2023·四川眉山·校考模拟预测）下列四幅图所描述的情景中，人对物体做功的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①④
【答案】D
【详解】①．将地面上的物体往上堆积，给物体一个向上的力，且物体向上移动了距离，力对物体做功，故①正确；
②．在水平方向搬运一盆花，人给花盆一个向上的力，但沿水平方向移动了距离，力对花盆没有做功，故②错误；
③．人给重物一个向上的力，物体没有移动距离，力对重物没有做功，故③错误；
④．人给拖把一个向前的力，拖把向前移动了距离，力对拖把做功，故④正确。
故选D。
2．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速率顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙而连接，另一端与物块不栓接。物块将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，物块向右运动受到的摩擦力f随位移x的关系如图乙所示，为已知量，则下列说法正确的是（ ）

A．工件在传送带上先加速，后减速
B．工件向右运动后与弹簧分离
C．弹簧劲度系数
D．整个过程中摩擦力对物块做功
【答案】BCD
【详解】AB．由图乙可知，过程，物块相对于传送带向左运动，物块受到向右的滑动摩擦力，物体做加速运动，过程，物体相对于传送带静止，相对于地面做匀速直线运动，物体受到向左的静摩擦力，静摩擦力大小与弹簧弹力大小相等，方向相反，直到处弹簧恢复原长后，物块不再受到静摩擦力，继续匀速直线运动，故物体先加速后匀速，故A错误，B正确；
C．在处物块与传送带共速，此时物块受力平衡，即，解得，故C正确；
D．图像中图线与x轴围成的面积即为整个过程中摩擦力对物块做功，过程，摩擦力对物块做正功，过程，摩擦力对物块做负功，故整个过程中摩擦力做功为，故D正确。
故选BCD。
3．（多选）（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）推导匀变速直线运动位移公式时，匀变速直线运动在极短时间内可以看成是匀速直线运动，这一方法也适用于求非匀变速直线运动的位移，如图所示，光滑水平面上，物块以的速度去撞固定在物块上的轻弹簧，经过二者第一次速度相等，此时物块运动的位移为，已知的质量是的质量的5倍，弹簧始终在弹性限度内，则以下说法正确的是（ ）
A．从开始运动到共速过程中，物块的加速度始终是物块的5倍
B．从开始运动到共速过程中，物块的位移始终是物块的位移的5倍
C．二者速度相等时，物块的位移为
D．从开始运动到共速过程中，弹簧弹力对和做功的大小相等
【答案】AC
【详解】A．设A的质量为，弹簧上的力的大小处处相等，故根据牛顿第二定律可知，，故物块A的加速度始终是物块B的5倍。A正确；
B．从开始运动到二者共速过程中，B物块的速度大于A物块的速度，相同的运动时间，则B的位移也大于A的位移。B错误；
C．根据A选项中结论可知A物体位移为，，联立以上两方程可知，C正确；
D．从开始运动到共速过程中，B的位移也大于A的位移，弹簧弹力对做功绝对值大于弹簧弹力对做的功，D错误。
故选AC。
考法2 变力做功的求解方法
角度1：利用动能定理求变力做功
（2022·江苏·模拟预测）如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为( )
A．FLcs θB．FLsin θC．FL(1－cs θ)D．mgL(1－cs θ)
【答案】D
【详解】在小球缓慢上升过程中，拉力F为变力，此变力F做的功可用动能定理求解．过程中拉力做正功，重力做负功，缓慢运动可认为过程中动能变化量为零，由，得，D正确．
角度2：微元法求变力做功
【典例3】（2022·河南·校联考一模）水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J）B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cs37°，W2=Fl2cs37°，Wn=Flncs37°，故
故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功，故CD错误。
故选A。
角度3：化变力为恒力求变力的功
【典例4】（2018·安徽合肥·统考一模）用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为（ ）
A．（-1）dB．（-1）dC．D． d
【答案】B
【详解】铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得，
联立解得，故ACD错误，B正确。
故选B。
角度4：利用F-x图像求变力的功
【典例5】（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，木匠砸击4次，就把一枚长为的钉子全部砸进木梁，那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】作出钉子所受阻力与进入深度的关系图，可知前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，将钉全部砸进木梁需要砸4次，则第1锤将铁钉砸进木梁的深度是。
故选B。
1.（2021·广东·模拟预测）如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动，F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x0处时的动能可表示为（ ）
A．0B．Fmx0（1+π）
C．Fmx0（1+）D．Fmx0
【答案】C
【详解】F-x图线围成的面积表示拉力F做功的大小，可知F做功的大小W=Fmx0+πx02，根据动能定理得，Ek=W=Fmx0+πx02 =，故C正确，ABD错误。
故选C。
2．（2020·山东滨州·统考三模）如图甲所示，在一无限大光滑水平面上静止放置可视为质点、质量为m=2kg的物体，以物体所在初始位置为坐标原点建立一维坐标系，现给物体施加一沿x轴正向的作用力F，其大小与坐标的关系如图乙所示。则在x=4m处，作用力F的瞬时功率为（ ）
A．15WB．20WC．40WD．无法计算
【答案】B
【详解】当物体运动到x=4m处时，作用力,作用力F做的功
根据动能定理，有
代入数据，可得物体运动到x=4m处时的速度
则在x=4m处，作用力F的瞬时功率为,故B正确，ACD错误。
故选B。
3．（多选）（2021·湖南·模拟预测）在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的物体P（可看作质点）从弹簧上端由静止释放，物体沿竖直方向向下运动，物体的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中a0和x0为已知量。设该星球为质量均匀分布、半径为R（）的球体，下列说法中正确的是（ ）
A．物体在最低点处加速度大小为2a0
B．由题给条件可求得弹簧劲度系数k的大小
C．由题给条件可求得物体的最大速度的大小
D．由题给条件可求得绕该星球运动卫星的第一宇宙速度
【答案】BCD
【详解】A．弹簧压缩量为时，加速度为零，速度最大；根据运动的对称性可知，当物体速度为零时，弹簧的压缩量为，物体在最低点处加速度大小为a0，方向竖直向上，故A错误；
B．根据图乙可知，当弹簧为发生形变时，根据牛顿第二定律有
当弹簧的压缩量为时，加速度为零，有,联立解得,故B正确；
C．根据牛顿第二定律可得，
由题给条件可求得物体的最大速度在弹簧压缩处，从静止到速度最大这个过程根据动能定理得，，联立解得最大速度，故C正确；
D．有图乙可得，该星球运动卫星的第一宇宙速度等于近地卫星运行速度，有重力提供向心力，联立解得第一宇宙速度，故D正确。
故选BCD。
考法3 机车启动问题分析
1．模型一 以恒定功率启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P­t图象和v ­t图象如图所示：
2．模型二 以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P­t图象和v ­t图象如图所示：
3．三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,F阻).
（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)＜vm＝eq \f(P,F阻).
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度．
4. 四个常用规律
（1）P＝fvm
（2）F－f＝ma.
（3）v＝at(a恒定)
（4）Pt－fx＝ΔEk(P恒定)．
角度1：恒定牵引力启动
【典例6】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）一质量为m=0.5kg的电动玩具车，从倾角为=30°的长直轨道底端，由静止开始沿轨道向上运动，4s末功率达到最大值，之后保持该功率不变继续运动，运动的v-t图象如图所示，其中AB段为曲线，其他部分为直线。已知玩具车运动过程中所受摩擦阻力恒为自身重力的0.3倍，空气阻力不计，取重力加速度g=10m/s2。
（1）求玩具车运动过程中的最大功率P；
（2）求玩具车在4s末时（图中A点）的速度大小v1。
【答案】（1）40W；（2）8m/s
【详解】(1)由题意得，当玩具车达到最大速度v=10m/s匀速运动时，受力平衡，可得牵引力大小为F=mgsin30°+0.3mg
由P=Fv
代入数据解得P=40W
(2)玩具车在0-4s内做匀加速直线运动，设加速度为a，牵引力为F1，由牛顿第二定律可得F1-(mgsin30°+0.3mg)=ma
t1=4s时玩具车功率达到最大，则P=F1v1
由运动学公式可得v1=at1
联立解得v1=8m/s
角度2：恒定功率启动
【典例7】（2023·山东淄博·统考一模）电动自行车在平直路面上匀速行驶，某一时刻从车上掉落一货物，车行驶的功率不变，货物掉落前后车速随时间的变化图象较符合实际的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】电动自行车的功率P=Fv，匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F=f
加速度a=0。货物掉落后瞬间速度未变，车整体质量减小，阻力减小为f'，牵引力大于阻力，具有向前的加速度，车开始加速，由于功率不变，牵引力逐渐减小，加速度减小，当牵引力F'趋近于f'时，加速度趋近于0，电动自行车达到最大速度v'=，以后继续做匀速运动。
故选A。
1．（2023·天津滨海新·天津经济技术开发区第一中学校联考二模）机车由静止开始以恒定的加速度启动且沿水平直线运动，发动机到达额定功率后，保持该功率不变机车继续行驶，设运动过程中机车所受阻力不变，则整个运动过程中，机车的功率、速度随时间的变化图像正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】AB．汽车做匀加速直线运动阶段，设加速度为，根据牛顿第二定律可得
又，，
联立可得，当功率增大到额定功率后，保持不变，故A正确，B错误；
CD．发电机功率达到额定功率之前，汽车做匀加速直线运动；功率增大到额定功率后，保持功率不变，减小牵引力，根据，可知汽车接着做加速度减小的加速运动；当牵引力减小到等于阻力时，汽车做匀速直线运动，故C错误，D正确。
故选AD。
2．（2023·湖北·校联考模拟预测）质量为m的赛车在水平直线赛道上以恒定功率P加速，受到的阻力不变，其加速度a与速度的倒数的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．赛车速度随时间均匀增大
B．赛车加速度随时间均匀增大
C．赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．图中纵轴截距、横轴截距
【答案】C
【详解】A．由题图可知，加速度是变化的，故赛车做变加速直线运动，故A错误；
BC．根据题意，设汽车的牵引力为，由公式可得，
由牛顿第二定律有，可得
可知，随着速度增大，加速度减小，即赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动，故B错误C正确；
D．由C分析，结合图像可得，斜率为，纵轴截距为，横轴截距为，故D错误。
故选C。
3．（2023·福建福州·统考三模）某工地小型升降电梯的原理图如图所示，轿厢A、对重B跨过轻质定滑轮通过足够长轻质缆绳连接，电机通过轻质缆绳拉动对重，使轿厢由静止开始向上运动，运动过程中A未接触滑轮、B未落地。已知A、B质量分别为、，电机输出功率恒为，不考虑空气阻力与摩擦阻力，重力加速度g取，则当轿厢速度为时，A、B之间轻质缆绳的拉力大小为（ ）
A．5400NB．6000NC．6600ND．7000N
【答案】C
【详解】当轿厢速度为时，电动机的牵引力为
以轿厢A为对象，根据牛顿第二定律可得
以对重B为对象，根据牛顿第二定律可得
联立解得A、B之间轻质缆绳的拉力大小为
故选C。
【基础过关】
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）惠州罗浮山风景区于2022年1月启用新索道，如图所示，质量为M 的吊厢通过悬臂固定悬挂在缆绳上，吊厢水平底板上放置一质量为m 的货物。若某段运动过程中，在缆绳牵引下吊厢载着货物一起斜向上加速运动，且悬臂和吊厢处于竖直方向，重力加速度为g，则（ ）
A．吊厢水平底板对货物的支持力不做功
B．吊厢水平底板对货物的摩擦力做正功
C．悬臂对吊厢的作用力方向与缆绳方向平行且斜向上
D．悬臂对吊厢的作用力大小等于
【答案】B
【详解】A．吊厢水平底板对货物的支持力竖直向上，与速度方向的夹角小于，可知支持力对货物做正功，故A错误；
B．在缆绳牵引下吊厢载着货物一起斜向上加速运动，可知吊厢水平底板对货物的摩擦力水平向右，与速度方向的夹角小于，摩擦力对货物做正功，故B正确；
CD．以吊厢和货物为整体，设加速度大小为，缆绳与水平方向夹角为，则有，
则悬臂对吊厢的作用力大小为
悬臂对吊厢的作用力与水平方向的夹角为，则有
可知悬臂对吊厢的作用力方向与缆绳方向不平行，故CD错误。
故选B。
2．（2023·上海浦东新·统考一模）如图，物块A与斜面B一起水平向左做匀加速运动的过程中，物块A所受的（ ）
A．重力做负功B．支持力做负功C．摩擦力做负功D．合外力做负功
【答案】B
【详解】A．物块A与斜面B一起水平向左做匀加速运动的过程中，重力与位移方向垂直，不做功，故A错误；
B．支持力方向与位移方向夹角为钝角，做负功，故B正确；
C．摩擦力方向与位移方向夹角为锐角，做正功，故C错误；
D．因为速度增大，动能增大，根据动能定理可知，合外力做正功，故D错误。
故选B。
3．（2020·重庆·统考模拟预测）用钉锤将一钉子钉入木板中，设钉子所受木板阻力与进入木板的深度成正比，不计钉子重力，钉锤每次打击钉子所做的功相同，则打击第n次与打击第一次钉子进入木板的深度之比为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】由题意可知，阻力与深度d成正比，f-d图象如图所示，
F-x图象与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：每次所围面积相同，根据相似比的平方等于面积比可得:第1次：前2次：前3次
故第1次：第2次：第3次
打击第n次与打击第一次钉子进入木板的深度之比为.
故选A。
4．（2018·全国·统考一模）放在地面上的木块与一水平轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力F的作用点移动x1 = 0．2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块又缓慢移动了x2 = 0．4 m的位移，其F-x图象如图所示，则上述过程中拉力所做的功为( )
A．12 JB．16 JC．20 JD．24 J
【答案】C
【详解】根据功的公式可知，则类比于v-t图象可知，图象与横坐标所围成的面积表示拉力的功，则可知，C正确，ABD错误．
5．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，长为L的轻质细绳一端固定在天花板上的O点，另一端拴一质量为m的小球。刚开始细绳处于水平位置，现将小球由静止释放，细绳从水平位置运动到竖直位置，在此过程中小球沿圆弧从A点运动到B点，C点、D点是圆弧的两个三等分点，不计一切摩擦阻力，则重力在C点和D点的瞬时功率之比满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图所示
设OA与OC的夹角为，OD与OA的夹角为，A到C由动能定理得
重力的瞬时功率为
联立解得
同理得D点重力的瞬时功率
\将，代入，可得
故选B。
6．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）质量的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图甲所示为汽车运动的速度与时间的关系，图乙为汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中所受阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大。重力加速度g取，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力为200 N
B．汽车的最大牵引力为700 N
C．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为95.5 m
D．8~18 s内汽车牵引力做的功为
【答案】C
【详解】A．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有阻力，A错误；
B．汽车匀加速阶段牵引力最大，匀加速阶段加速度，
汽车在运动过程中所受阻力不变，联立解得，B错误；
C．变加速过程中，即8~18 s内，根据动能定理得
解得位移大小，C正确；
D．8~18s时间内，汽车牵引力的功率恒为所以该过程中牵引力做的功为，D错误。
故选C。
7．（多选）（2023·新疆·校考模拟预测）如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向左推车厢（人与车厢始终保持相对静止），则下列说法正确的是（ ）
A．人对车厢做正功B．车厢对人做负功
C．人对车厢做负功D．车厢对人做正功
【答案】CD
【详解】先确定人对车厢的作用力方向和力的作用点的位移方向，这里人对车厢除有手对车厢的推力F1外，还有个容易被疏忽的力：脚对车厢地板的静摩擦力F2，受力分析如图所示。其中F1做正功，F2做负功。由于F1和F2大小未知，因此这两个力的总功正负难以确定。于是将研究对象转换为受力情况较简单的人，在水平方向人受到车厢壁向右的力F1′和车厢地板对人向左的静摩擦力F2′，这两个力的合力使人产生向左加速运动的加速度，合力是动力，对人做正功，表示车厢对人做正功，由牛顿第三定律知，人对车厢的作用力向右，是阻力，所以人对车厢做负功，故CD正确。
故选CD。
8．（多选）（2023·山东临沂·统考二模）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A向右缓慢移动直至C降到地面，B一直保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则从A开始移动直至C降到地面的过程中（ ）
A．A受到地面的摩擦力大小不变
B．A受到地面的摩擦力大小一直增大
C．A克服摩擦力做功为
D．A克服摩擦力做功为
【答案】AD
【详解】AB．现用水平向右的力拉A，使A向右缓慢移动直至C降到地面，根据对称性可知A和B受到地面的支持力大小相等，整个过程中将ABC整体，A受到地面的支持力为
则A受到地面的摩擦力大小为
保持不变，故A正确，B错误；
CD．初末状态图如图
由几何关系知A的位移为
所以摩擦力做功的大小为，故C错误，D正确。
故选AD。
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，在倾角为θ=37°的足够长的斜面上，有质量为m1=2kg的长木板．开始时，长木板上有一质量为m2=1kg的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v0=2m/s 从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v=1m/s的匀速运动，小铁块最终与长木板一起沿斜面向上做匀速运动．已知小铁块与长木板、长木板与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.9，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度；
（2）长木板至少多长？
（3）在小铁块从木板中点运动到与木板速度相同的过程中拉力做了多少功？
【答案】（1）1.2m/s2，方向沿斜面向上；（2）7.5m；（3）102J
【详解】(1)设小铁块的加速度大小为a，取沿斜面向上方向为正方向，根据牛顿第二定律得f2﹣m2gsinθ=m2a
又f2=μN2=μm2gcsθ
解得a=g（μcsθ﹣sinθ）=1.2m/s2，，方向沿斜面向上。
(2)小铁块先沿斜面向下做匀减速运动至速度为零，再沿斜面向上做匀加速运动，最终以速度v与长木板一起沿斜面向上做匀速运动．设经过时间t后小铁块达到速度v，则v﹣（﹣v0）=at
解得t=2.5s
设此段时间内小铁块的位移为s1，木板的位移为s2，则有
方向沿斜面向下s2=vt
方向沿斜面向上，因为
所以L≥2（s1+s2）=7.5m
(3)对木板，根据平衡条件F=f1+f2+m1gsinθ，f1=μN1，则中拉力做功为W=Fs2=102J
10．（2019·湖南邵阳·统考模拟预测）一质量m=l×103 kg的汽车，其发动机的额定功率P=80 kW，当它沿倾角α=30°的长直斜坡向上行驶时，所受斜坡的摩擦阻力为车重的，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2．
（1）求汽车在斜坡上所能达到的最大速度vm；
（2）若汽车沿斜坡向上从静止开始以a=2 m/s2的加速度做匀加速启动，求汽车做匀加速运动过程中所用的时间t．
【答案】（1）10 m/s．（2）4 s．
【分析】由题中“当它沿倾角α=30°的长直斜坡向上行驶时”可知，本题考查汽车额定功率问题，根据额定功率公式，结合牛顿第二定律和运动学公式可分析本题．
【详解】（1）根据题意可知，汽车所受阻力为
根据额定功率公式可得，
解得
（2）当汽车以恒定加速度运动时，则有，
解得，根据，可得
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，质量为3kg的物块静置于足够大的光滑水平地面上，光滑轨道的BC部分为半径为R的四分之一圆弧，CD部分水平。质量为1kg的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端B正上方的A点由静止自由落下，与圆弧相切于B点并从B点进入圆弧。已知AB=CD=R=0.3m，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）

A．物块对小球不做功
B．物块的最大速度为1m/s
C．两者分离时物块移动了0.15m
D．物块对地面的最大压力为70N
【答案】BC
【详解】A．小球对物块做正功，物块对小球做负功，故A错误；
B．系统在水平方向动量守恒，有
根据能量守恒有
解得，，故B正确；
C．小球的水平分速度始终为物块速度的3倍，结合几何关系得两者分离时物块移动了，故C正确；
D．小球在C点时对物块的压力最大，此时物块没有加速度，以物块为参考系（此时为惯性系），小球此时相对圆心的速度为，对整体应用牛顿运动定律有，故D错误。
故选BC。
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）某同学设计了一款简易娱乐设施“颠颠轮”，结构如图所示。甲、乙两箱用跨过滑轮的绳索相连，乙箱在轮子上做匀速圆周运动时，甲箱内的乘客即可上下颠簸。现让乙箱从图示位置开始逆时针运动一周，绳子始终处于绷直状态，不计滑轮与绳索间的摩擦及空气阻力，在这个过程中，下列说法正确的是（ ）

A．绳索的拉力对甲箱先做负功后做正功
B．乙箱运动到最低点时，其速度小于甲箱的速度
C．两箱速度大小相等的位置有两个
D．甲箱的速度为零的位置有两个
【答案】CD
【详解】
A．由乙箱的运动过程可知，甲箱先下降后上升再下降，所以绳索的拉力对甲箱先做负功后做正功再做负功，故A错误；
B．乙箱运动到最低点时
乙箱运动到最低点时，其速度大于甲箱的速度，故B错误；
C．乙箱运动至C、D两点时，绳索与轮子相切，乙箱的速度完全沿着绳索方向，所以有两个时刻两箱的速度大小相等，故C正确；
D．乙箱运动至A、B两点时，连接乙箱的绳索方向与乙箱的速度方向相互垂直，乙箱的速度沿绳索方向的速度分量为零，所以甲箱的速度为零的时刻有两个，故D正确。
故选CD。
3．（2023·广东清远·佛冈县第一中学校考模拟预测）放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0~6s内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．0~6s内物体位移大小为36m
B．0~6s内拉力做的功为70J
C．合力在0~6s内做的功与0~2s内做的功不相等
D．滑动摩擦力大小为N
【答案】BD
【详解】A．由速度与时间图像围成的面积等于物体的位移，则0～6s内物体的位移大小
故A错误；
B．由功率与时间图像围成的面积等于力做的功，则在0～6s内拉力做的功为
故B正确；
C．在0～6s 内与0～2s 内动能变化相同，则根据动能定理可知，合外力在0～6s内做的功与0～2s 内做的功相等，故C错误；
D．在2～6s内，v=6m/s，P=10W，物体做匀速运动，摩擦力f=F，由，则有，故D正确。
故选BD。
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为图像，如图所示（除时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）。已知在小车运动的过程中，时间段内小车的功率保持不变，在末停止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。则下列选项正确的是（ ）
A．小车两段匀变速直线运动的加速度大小相同
B．小车所受到的阻力为
C．小车额定功率为
D．小车在变加速运动过程中位移为
【答案】AB
【详解】A．内汽车的加速度
在时间段，加速度大小，故A正确。
B．时间段，由牛顿第二定律得，故B正确。
C．在小车做匀速运动，速度，牵引力大小与大小相等，则小车匀速运动的功率，故C错误；
D．内根据动能定理有，解得，故D错误。
故选AB。
二、单选题
5．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，一侧有竖直挡板的足够长的实验台固定在地面上，台面水平且光滑。质量均为的甲、乙两小球用一根劲度系数为的轻质弹簧拴接在一起，小球乙与竖直挡板接触（不固定），用力推压小球甲使弹簧压缩，弹簧压缩量为时锁定小球甲。现解除对小球甲的锁定，同时给小球甲施加一个水平向左的外力F，使小球甲由静止开始向左以的加速度做匀加速直线运动，当小球乙刚要离开竖直挡板时撤掉外力F。有关甲、乙两小球的运动情况的判断，下列说法正确的是（ ）

A．外力F的最大值为
B．弹簧锁定时弹性势能为
C．小球乙刚离开挡板瞬间小球甲的速度大小为
D．外力F对小球甲做的功为
【答案】C
【详解】A．解除对小球甲的锁定，给小球甲施加外力的过程，根据牛顿第二定律有
当时外力F最大，为，故A错误；
B．弹簧锁定时，弹力做功为，根据功能关系，弹性势能为
故B错误；
C．根据动力学公式，解得，故C正确；
D．解除对小球甲的锁定，给小球甲施加外力的过程，由动能定理得，解得，故D错误。
故选C。
6．（2022·上海·模拟预测）如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则 （ ）
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
【答案】B
【详解】A．由于磁铁做匀速运动，根据动能定理可知，合外力对磁铁不做正功，故A错误；
B．磁铁受重力和磁铁的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；
C．AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；
D．AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力做功，故D错误。
故选B。
7．（2021·浙江绍兴·统考模拟预测）两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图所示，物体通过一段位移时，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1与F2的合力对物体做功为（ ）
A．7JB．1JC．5JD．3.5J
【答案】A
【详解】当有多个力对物体做功的时候，总功的大小就等于用各个力对物体做功的和，由于力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，所以F1与F2的合力对物体做的总功就为W=3J+4J=7J，故A正确，BCD错误。
故选A。
8．（2023·江苏·模拟预测）质量为m，长为L的匀质木板以速度向右运动，水平地面O点左侧是光滑的，右侧是粗糙的，与木板的摩擦系数为，当木板全部进入时刚好静止，则木板的初速度是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】摩擦力与位移为线性关系，可以用平均摩擦力来求摩擦力做功，根据动能定理得，解得
故选A。
9．（2023·北京昌平·校联考模拟预测）如图所示，在光滑水平桌面内，固定有光滑轨道，其中半圆轨道与直轨道相切于点，物体受到与平行的水平拉力，从静止开始运动，拉力的大小满足如图乙所示（以为坐标原点，拉力从指向为正方向）。若，，半圆轨道的半径，重力加速度取。则下列说法中正确的是（ ）
A．拉力从到做功为
B．物体从到过程中，所受的合外力为0
C．物体能够到达点，且速度大小为
D．物体能够到达点，且速度大小为
【答案】D
【详解】A．图像与坐标轴所围面积表示功，则拉力从到做功为，故A错误；
B．物体从到过程中，做圆周运动，合力不变0，故B错误；
CD．从A到B由动能定理有，解得
由于滑轨道在水平面内，则物体从B到C做匀速圆运动，物体能够到达点，且速度大小为，故C错误，D正确。
故选D。
10．（2022·贵州黔南·统考模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
【答案】C
【详解】AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功，故AB错误；
C．根据功率的定义得，故C正确；
D．线速度为，故D错误。
故选C。
11．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在汽车的设计研发中，需要测试发动机的性能。汽车在倾角为的长直斜坡上由静止启动，汽车的输出功率与速度的关系图像如图所示，当汽车的速度增大到后保持最大功率不变，汽车能达到的最大速度为。汽车的质量为m，汽车启动过程中所受的阻力（不包括重力沿斜坡向下的分力）大小恒为f，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）

A．汽车发动机的最大功率为
B．当汽车的速度大小为时，其加速度大小为
C．汽车的速度从0增大到所用的时间为
D．在汽车的速度从0增大到的过程中，汽车发动机做的功为
【答案】D
【详解】A．根据物体的平衡条件可知，当汽车的速度大小为时，汽车所受的牵引力大小为
因为在汽车的速度从增大到的过程中，汽车发动机的功率均为最大功率，所以汽车发动机的最大功率，解得，A错误；
B．设当汽车的速度大小为时，汽车所受的牵引力大小为，有
设此时汽车的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有，解得，B错误；
C．在汽车的速度从0增大到的过程中，汽车做匀加速直线运动，加速时间，C错误；
D．该过程汽车通过的位移大小
设该过程汽车发动机做的功为W，根据动能定理有，解得，D正确。
故选D。
【真题感知】
1．（多选）（2023·山西·统考高考真题）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）

A．在x = 1m时，拉力的功率为6W
B．在x = 4m时，物体的动能为2J
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D．从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【详解】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W = Fx
可看出W—x图像的斜率代表拉力F。
AB．在物体运动的过程中根据动能定理有
则x = 1m时物体的速度为v1= 2m/s
x = 1m时，拉力为
则此时拉力的功率P = Fv1= 12W
x = 4m时物体的动能为Ek= 2J，A错误、B正确；
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为Wf= μmgx = 8J，C正确；
D．根据W—x图像可知在0—2m的过程中F1= 6N，2—4m的过程中F2= 3N，由于物体受到的摩擦力恒为f = 4N，则物体在x = 2m处速度最大，且根据选项AB分析可知此时的速度
则从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为，D错误。
故选BC。
2．（多选）（2022·全国·统考高考真题）质量为的物块在水平力F的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动，F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小取。则（ ）
A．时物块的动能为零
B．时物块回到初始位置
C．时物块的动量为
D．时间内F对物块所做的功为
【答案】AD
【详解】物块与地面间的摩擦力为
AC．对物块从s内由动量定理可知，即，得
3s时物块的动量为，设3s后经过时间t物块的速度减为0，由动量定理可得，即，解得
所以物块在4s时速度减为0，则此时物块的动能也为0，故A正确，C错误；
B．s物块发生的位移为x1，由动能定理可得，即，得，
过程中，对物块由动能定理可得，即
得
物块开始反向运动，物块的加速度大小为
发生的位移为，即6s时物块没有回到初始位置，故B错误；
D．物块在6s时的速度大小为
拉力所做的功为，故D正确。
故选AD。
3．（2023·山东·统考高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）

A．B．C．D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W = 1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为，
联立有
故选B。
4．（2023·江苏·统考高考真题）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示。与图乙中相比，图甲中滑块（ ）

A．受到的合力较小B．经过A点的动能较小
C．在A、B之间的运动时间较短D．在A、B之间克服摩擦力做的功较小
【答案】C
【详解】A．因为频闪照片时间间隔相同，对比图甲和乙可知图甲中滑块加速度大，是上滑阶段；根据牛顿第二定律可知图甲中滑块收到的合力较大；故A错误；
B．从图甲中的A点到图乙中的A点，先上升后下降，重力做功为0，摩擦力做负功；根据动能定理可知图甲经过A点的动能较大，故B错误；
C．由于图甲中滑块加速度大，根据
可知图甲在A、B之间的运动时间较短，故C正确；
D．由于无论上滑或下滑均受到滑动摩擦力大小相等，故图甲和图乙在A、B之间克服摩擦力做的功相等，故D错误；
故选C。
5．（2022·福建·高考真题）福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）所示。承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示。同一楼层内部通过直径约的圆形廊道连接。若将质量为的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M处，再用沿廊道运送到N处，如图（c）所示。重力加速度大小取，则（ ）
A．该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为
B．该物资从M处被运送到N处的过程中，克服重力所做的功为
C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为
D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为
【答案】A
【详解】A．该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为，故A正确；
B．该物资从M处被运送到N处的过程中，由于M、N高度差为零，所以克服重力做功为零，故B错误；
C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为，故C错误；
D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为，故D错误。
故选A。
题型
选择题、解答题
高考考点
恒力做功；变力做功；汽车恒定加速度启动；机车恒定功率启动；
新高考
2023
山西卷7题、山东卷3题、江苏卷11题、山东卷8题、湖北卷4题、湖北卷9题、辽宁卷3题、全国乙卷8题
2022
重庆卷10题、福建卷1题、浙江卷13题、山东卷16题、山东卷9题、辽宁卷1题、全国乙卷20题、北京卷8题、广东卷9题、
2021
全国乙卷21题、湖南卷3题、湖南卷15题、浙江春招卷21题、重庆卷10、全国乙卷18题、湖北卷16题、北京卷8题、广东卷9题、
条件
从动力学角度看
从能量角度看
正功
当00,W>0
力对物体做正功，力是物体运动的动力
使物体的动能增加
不做功
当a=90°时，csa=0,W=0
力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用，力只改变物体的运动方向
力没有使物体的动能发生变化
负功
当90°cs a<0,W<0
力对物体做负功(或者说物体克服阻力做功),力是物体运动的阻力
使物体的动能减少
说明
功是标量，但有“+”“一 ”,功的正负不表示方向，也不表示大小(如-5J>3J),而表示力的作用效果.
（1）力对物体做正功，表明此力的效果是促进物体的运动，是动力
（2）力对物体做负功，表明此力的效果是阻碍物体的运动，是阻力
（3）一个力对物体做了负功，往往说成物体克服这个力做了功(取绝对值)，即力 F对物体做功-Fl等效于物体克服力F做功Fl
概念
定义
公式
平均功率
在一段时间内或某一过程中做功的快慢
P＝eq \f(W,t)，或
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置做功的快慢
P=Fv，v为某一时刻的速度
做功情形
图例
备注
都做正功
(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关
(2)一对相互作用力做的总功W＝Flcsα，l是相对位移，α是F与l间的夹角
(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零
都做负功
一正一负
一为零
一为正
一为负
方法
以例说法
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgl(1－csθ)＝0，得WF＝mgl(1－csθ)
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝f·2πR
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝eq \f(kx1＋kx2,2)·(x2－x1)
图像法
水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围“面积”表示拉力所做的功，W＝eq \f(1,2)F0x0
转化法
通过转换研究对象把变力转化为恒力做功，
Δl＝l1－l2＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)－\f(1,sin β)))
WT＝WF＝FΔl＝Fheq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)－\f(1,sin β)))