高二数学期中模拟卷（全解全析）（江苏专用）

这是一份高二数学期中模拟卷（全解全析）（江苏专用），共14页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，已知直线，已知直线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．-2B．1C．3D．4
【答案】B
【解析】经过两点的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，所以，解得.
故选：B.
2．求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
3．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆焦点为，双曲线焦点为，且，
将代入双曲线，得，
又，解得，，
故双曲线的方程为，
故选：D.
4．设，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
【解析】若，则，
曲线,即，
，表示焦点在轴上的椭圆．
故选：
5．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，由题意可知，
根据抛物线的定义
在中，，又，
所以，
解得.
故选：C.
6．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设，可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，且直线：，
可得，，，
即有，即，
双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
7．已知函数，且点满足，，若记点P构成的图形为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将函数表达式代入条件可得，
即.
所以区域即为圆的内部位于轴上方的部分，
即该圆的去掉一个底为，高为的三角形，
故所求面积为.
故选：A.
8．已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
不妨设，，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为4，
当时，取得最大值，最大值为64，
故，
故当时，取得最小值，最小值为51，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
【答案】BD
【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；
对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；
故选：BD
10．已知抛物线的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．Q是线段的一个三等分点D．
【答案】ABD
【解析】如图，由抛物线的定义，

对于A，得，，又，则，A正确；
对于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正确；
对于D，在中，，可知，所以，D正确；
对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.
故选：ABD.
11．直线y=kx与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则
B．若，则的面积为4
C．
D．的最小值为4
【答案】AD
【解析】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，
由双曲线可知：，
对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；
对于B，据双曲线定义可知：，
若，则四边形为矩形，
则，所以，
即所以，所以，
所以，故B不正确；
对于C，由双曲线的方程可知，
在中，，
又因为双曲线渐近线方程为：，所以，
所以，即，故C错误；
对于D，
当且仅当时，取到最小值为4，故D正确．
故选：AD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若与平行，则两直线之间的距离为 .
【答案】
【解析】∵直线与平行，∴，解得，
∴直线，直线，
∴直线与之间的距离，
故答案为：.
13．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
则，其中为坐标原点，
可得，则，
所以M的轨迹是以O为圆心，r=3的圆，
由题意可知：圆与圆有公共点，则，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 .
【答案】
【解析】
如图，过点作于点，则,
由图知①，
由可得，②，
又点在抛物线上，可得，，即③，
把①式代入②式，，解得，，
回代入①可得，，代入③式整理得， ，
解得，或（舍去），故抛物线方程为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知直线：，：，其中为实数.
(1)当时，求直线，之间的距离；
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
【解析】（1）由得，解得，2分
此时直线：，：，不重合，4分
则直线，之间的距离为；6分
（2）当时，：，
联立，解得，9分
又直线斜率为，10分
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，12分
即.13分
16．（15分）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程.
【解析】（1）根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，3分
所以圆心，半径，故圆的方程为；5分
（2）圆的圆心为，半径，6分
当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切；8分
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为，
即（*），9分
由圆心C到切线的距离，
即，可得，12分
将代入（*），得切线方程为，即，14分
综上，所求切线方程为或.15分
17．（15分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．
(1)写出图中“果圆”的方程；
(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．
【解析】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.
可得，即，
所以半个椭圆的方程为；2分
圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与，
设圆弧方程为，4分
利用，解得，所以，
得.6分
所以果圆方程为，.7分
（2）由，解得，得，10分
由，解得，得，13分
所以.15分
18．（17分）已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可设，则1分
所以
则的最小值为，则，得.4分
所以的方程为.6分
（2）因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在.
设，，.
直线的斜率，
得.9分
直线的斜率.
得.
由，可得.12分
直线的斜率.
所以直线的方程.15分
故直线过定点.17分
19．（17分）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，2分
所以双曲线的方程为．3分
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，4分
当直线的斜率不为0时，设，
由，消去得，5分
显然，，
设，则，得，6分
于是，
，8分
即，因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．10分
（3）由直线，得，
则，
又，12分
于是
，
而，即有，且，15分
所以，即为定值．17分