河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．D．2
2．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣6B．x＞﹣6C．x≤﹣6D．x≤6
3．（3分）下列运算，错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）函数y＝mx+n的图象如图所示，则方程mx+n＝0的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝2
5．（3分）冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）若一次函数y＝﹣2x+5的图象经点A（﹣2，y1）和点B（3，y2），则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＝y2
7．（3分）2024年河南省夏季围棋段位赛于8月下旬在温县开赛，演绎了一场场精彩绝伦的博弈盛宴．如图是比赛时部分棋盘的示意图，若A坐标为（﹣2，2），B坐标为（1，﹣2），则C坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
8．（3分）如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12米，BC＝9米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段AB），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD面积记为S1，以AD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图1，长方形ABCD中，动点P从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为x s，△BCP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线AC长为（ ）
A．48cmB．C．21cmD．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的算术平方根为 ．
12．（3分）点P（m，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 ．
13．（3分）已知华氏温度f和摄氏温度c的换算关系为：，在1个标准大气压下摄氏温度为5℃，则对应的华氏温度为 ℉．
14．（3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，我们发现，当一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数）时，它的股、经分别为m2﹣1和m2+1．若一组勾股数的勾为26，则经为 ．
15．（3分）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴上一动点，△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：（1﹣x）3＝﹣27．
17．（9分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）直接写出A，B、C三点的坐标；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，在图中标出P点的位置，并写出P点的坐标．
18．（9分）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务．
任务：
（1）从第2步到第3步运用的乘法公式是 （选填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
（2）上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第 步；
（3）请写出正确的解题过程；
（4）请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项．
19．（9分）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为（2m﹣7，3﹣m）．
（1）若点P在x轴下方且到x轴的距离为1，求m的值；
（2）若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠B的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）中∠B的平分线交AC于D，求CD的长．
21．（9分）某传媒公司张贴广告如图1所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米．
（1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）；
（2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）．
22．（10分）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．
两商店售卖方式如下：
甲商店
乙商店
设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为y1元，且y1＝7x+100；乙商店所需费用为y2元．
（1）甲商店一张会员卡的价格为 元；
（2）求y2的函数表达式；
（3）若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由．
23．（10分）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A．
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）观察图象，当x＞0时，y的取值范围为 ；当y＞0时，x的取值范围是 ；
（3）若C是y轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
2024-2025学年河南省郑州市新郑市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内．
1．【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的性质，熟记绝对值的性质是解题关键．
2．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：6+x＞0，
解得：x＞﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
3．【分析】根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法运算对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【解答】解：A． （）2＝3，所以A选项不符合题意；
B．×＝＝，所以B选项不符合题意；
C．与不能合并，所以C选项符合题意；
D．÷＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
4．【分析】根据一次函数的图象看出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（1，0），再根据交点坐标得出方程的解即可．
【解答】解：从图象可知：函数y＝mx+n的图象与x轴的交点坐标是（1，0），
所以方程mx+n＝0的解是x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，能正确根据一次函数的图象得出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是解此题的关键．
5．【分析】根据图象可以得到A位置符合题意．
【解答】解：如图，胜方最靠近原点的壶所在位置是A，位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，结合图形可以直接得到答案，属于基础题型．
6．【分析】将点A（﹣2，y1）和点B（3，y2）坐标代入解析式直接求出函数值比较即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9，
当x＝3时，y1＝﹣1，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
7．【分析】根据点A、B坐标建立如图所示平面直角坐标系，再结合图形可得答案．
【解答】解：由点A、B坐标可建立如图所示平面直角坐标系，
则棋子C的坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，直角坐标平面内点的位置可由点的坐标确定，点与有序实数对一一对应．
8．【分析】根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AC＝12米，BC＝9米，
∴AB＝＝＝＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝12+9﹣15＝6（米），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
9．【分析】先根据题意求得前几个正方形的面积，再求出第n个正方形的边长为2×（）n﹣1，则Sn＝（）n﹣3，即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，第一个正方形的边长为2，
∵△DEA是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∴第二个正方形的边长为DE＝＝＝，
∴S2＝（）2＝2，
同理：第三个正方形的边长为＝1，
∴S3＝12＝1，
第四个正方形的边长为＝，
∴S4＝（）2＝，
⋯，
∴第n个正方形的边长为2×（）n﹣1，
∴Sn＝[2×（）n﹣1]2＝4×（）n﹣1＝（）n﹣3，
∴S2025＝（）2025﹣3＝（）2022，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、规律型以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．
10．【分析】通过图2知，CD段，对应的函数是一次函数，此时CD＝6，而在DA段，△BCE的面积不变，故DA＝2×（8﹣3）＝10，再由勾股定理求解．
【解答】解：由图象知，
CD＝2×3＝6，DA＝2×（8﹣3）＝10，
∴AC＝＝＝2（cm），
故选：B．
【点评】本题是动点问题的图象探究题，考查了动点到达临界点前后的图象变化规律，解答时注意数形结合．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】直接根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵ 2＝121
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平方根的定义．根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．【分析】根据点在x轴上的坐标特征可得m+1＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1，
∴P点坐标为 （﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点在x轴上的坐标特征是解题的关键．
13．【分析】将c＝5代入中，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，5＝×（f﹣32），
解得：f＝41．
故答案为：41．
【点评】本题主要考查代数式求值，读懂题意是解题的关键．
14．【分析】当一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数）时，它的股、经分别为m2﹣1和m2+1，由此即可计算．
【解答】解：∵一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），2m＝26，
∴m＝13，
∴经为m2+1＝132+1＝170．
故答案为：170．
【点评】本题考查勾股数，规律型：数字的变化类，关键是明白：当一组勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数）时，它的股、经分别为m2﹣1和m2+1．
15．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理，可求出AB的长，分AC为腰及BC为腰两种情况考虑，当AC为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出OC的长，进而可得出点C的坐标；当BC为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出BC的长，结合点B的坐标，即可得出点C的坐标，综上所述，即可得出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝×0﹣4＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
∴OB＝4；
当y＝0时， x﹣4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5．
当AC为腰时，OC＝OB＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当BC为腰时，BC＝BA＝5，
又∵点B的坐标为（0，﹣4），
∴点C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣9）．
故答案为：（0，4）或（0，1）或（0，﹣9）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分AC为腰及BC为腰两种情况，求出点C的坐标．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．【分析】（1）先根据二次根式的除法计算，再合并即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣1；
（2）（1﹣x）3＝﹣27，
1﹣x＝﹣3，
x＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，利用立方根解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）取点C关于y轴的对称点C'，连接AC'交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）由图可得，A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）如图，取点C关于y轴的对称点C'，连接AC'交y轴于点P，连接CP，
此时PA+PC＝PA+PC'＝AC'，为最小值，
则点P即为所求．
由图可得，点P的坐标为（0，4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．【分析】（1）根据平方差公式的特征，即可解答；
（2）利用二次根式的性质进行计算，即可解答；
（3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
（4）根据二次根式运算的注意事项，即可解答．
【解答】解：（1）从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式，
故答案为：平方差公式；
（2）上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第3步，
故答案为：3；
（3）正确的解题过程如下：
（）2×（5+2）
＝（3﹣2+2）×（5+2）
＝
＝25﹣24
＝1；
（4）根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项：二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．【分析】（1）根据点P在x轴下方且到x轴的距离为且x轴的距离为1得出3﹣m＝﹣1，进而得出答案；
（2）根据点P在二、四象限的角平分线上，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P在x轴下方且到x轴的距离为且x轴的距离为1，
∴3﹣m＝﹣1，
∴m＝4．
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣7+3﹣m＝0，
∴m＝4，
∴2m﹣7＝1，3﹣m＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1）．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．
20．【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝CD，进而可得BE＝BC＝4，AE＝AB﹣BE＝1．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3．设CD＝DE＝x，则AD＝3﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＝AE2+DE2，代入求出x的值即可．
【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD为∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD．
在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC＝，
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1．
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝3．
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝3﹣x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝AE2+DE2，
即（3﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21．【分析】（1）先根据勾股定理求出AE的长，再由AO＝AE+OE即可得出结论；
（2）先由AC＝3米得出CE的长，再由勾股定理求出DE的长，由BD＝DE﹣BE即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米，
∴AE＝＝＝9（米），
∵吊臂B点距离地面1.5米，
∴OE＝1.5米，
∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米），
答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5米；
（2）由（1）知，AE＝9米，
∵AC＝3米，
∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米），
∵AB＝CB＝15米，
∴DE＝＝＝＝3（米），
∴BD＝DE﹣BE＝（3﹣12）（米）．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
22．【分析】（1）将x＝0代入y1＝7x+100，可以得到相应的y1的值，从而可以得到甲商店一张会员卡的价格；
（2）根据题目中的数据，可以写出y2的函数表达式；
（3）先写出李老师准备买40个灯彩，选哪个商店比较合算，然后写出理由即可．
【解答】解：（1）∵y1＝7x+100，
∴当x＝0时，y1＝100，
即甲商店一张会员卡的价格为100元，
故答案为：100；
（2）由题意可得，
y2＝10×0.9x＝9x，
即y2的函数表达式为y2＝9x；
（3）李老师准备买40个灯彩，选乙商店比较合算，
理由：当x＝40时，
y1＝7×40+100＝380，y2＝9×40＝360，
∵380＞360，
∴李老师准备买40个灯彩，选乙商店比较合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
23．【分析】（1）根据解析式过点（0，1）直接写出b值，根据得到的解析式求出点A的坐标即可；
（2）数形结合，直接写出自变量和函数值的取值范围即可；
（3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|，根据三角形面积公式列出方程，求出m值即可得到点C的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象经过点B（0，1），与x轴交于点A．
∴b＝1，
∴y＝﹣，
当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0）．
（2）观察图象可知，当x＞0时，y的取值范围为y＜1；当y＞0时，x的取值范围是x＜3；
故答案为：y＜1；x＜3；
（3）设点C的坐标为（0，m），则BC＝|m﹣1|，
S△ABC＝＝3，
∴|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，
∴m＝3或m＝﹣1．
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
解：（）2×（5+2）
＝（3﹣2+2）×（5+2）…第1步
＝…第2步
＝25﹣12…第3步
＝13…第4步
购买一张会员卡，
享受会员价，
每个灯彩可按标价的七折卖；
不购买会员卡，
每个灯彩可按标价的九折卖．