人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案设计，共7页。学案主要包含了思路导引，补偿训练，变式探究等内容，欢迎下载使用。
1．充要条件
2.充分性、必要性的其他情况
【批注】充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成p当且仅当q，或p与q等价等．
[诊断]
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
提示：当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确．
(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( √ )
提示：若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确．
(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( √ )
提示：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】选B.“攻破楼兰”不一定会返回家乡，不充分；“返回家乡”了一定是在攻破楼兰的前提下，必要．
学习任务一 充要条件的判断(逻辑推理)
1．(多选题)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
【解析】选BD.由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．
2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：|x|＝1；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
【解析】(1)当x＝1时，|x|＝1成立；
当|x|＝1时，x＝1或x＝－1.
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又 eq \f(1,2) 是正数，但 eq \f(1,2) 不是自然数，故qp.故p是q的既不充分又不必要条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
学习任务二 充要条件的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程(※)有一个根为1，
所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1.
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0，
从而a＋b＋c＝0⇔方程(※)有一个根为1，
因此a＋b＋c＝0是方程(※)有一个根为1的充要条件．
2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ eq \f(c,a) ＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝ eq \f(c,a) ＜0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【思路导引】从充分性和必要性两个方面证明．
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确
p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向．
求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
【证明】(1)充分性：因为m≥2，
所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，
所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2