人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系导学案

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今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄．小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁．小明说：我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和．张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”．
[问题] 张叔叔是怎样算出小芳年龄的？



知识点一 一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))；
(3)当Δ<0时，方程的解集为∅．
1．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
解析：选A ∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1>0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根．故选A.
2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．
解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.
答案：(－∞，4]
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)．
1．已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：选D 设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－eq \f(b,a)，4×(－5)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．
2．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值为( )
A．－1 B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．1
解析：选C 因为m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，所以m＋n＝eq \f(1,2)，mn＝－1，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(m＋n,mn)＝eq \f(\f(1,2),－1)＝－eq \f(1,2).故选C.
3．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________．
解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋（－5）＝－b，,2×（－5）＝－c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝10.))
答案：3，10
角度一 直接开平方法
[例1] 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[解] (1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝eq \f(25,4).
解得y1＝eq \f(5,2)，y2＝－eq \f(5,2)，
所以原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(5,2))).
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝eq \r(5)，x2＝－eq \r(5).
所以原一元二次方程的解集是{eq \r(5)，－eq \r(5)}．
eq \a\vs4\al()
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
(1)化为x2＝p(p≥0)的形式；
(2)直接开平方；
(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；
(4)总结写成解集的形式．
角度二 配方法
[例2] 用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解] (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±eq \r(5)，
∴x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
∴原一元二次方程的解集是{－2＋eq \r(5)，－2－eq \r(5)}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－eq \f(1,4)，
配方，得x2＋2x＋12＝12－eq \f(1,4)，即(x＋1)2＝eq \f(3,4).
∴x＋1＝±eq \f(\r(3),2).
∴x1＝－1＋eq \f(\r(3),2)，x2＝－1－eq \f(\r(3),2)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(\r(3),2)，－1－\f(\r(3),2))).
eq \a\vs4\al()
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根)．
角度三 公式法
[例3] 用公式法求下列方程的解集：
(1)x2－4eq \r(3)x＋10＝0；
(2)eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,8)＝0.
[解] (1)∵a＝1，b＝－4eq \r(3)，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4eq \r(3))2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝eq \f(－（－4\r(3)）±\r(8),2×1)＝eq \f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq \r(3)±eq \r(2)，
∴x1＝2eq \r(3)＋eq \r(2)，x2＝2eq \r(3)－eq \r(2).
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)＋eq \r(2)，2eq \r(3)－eq \r(2)}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝eq \f(－4±\r(0),2×4)＝－eq \f(1,2)，
∴x1＝x2＝－eq \f(1,2).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
eq \a\vs4\al()
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集．
[跟踪训练]
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
解：(1)直接开平方，得x＋1＝±2eq \r(3)，
∴x1＝2eq \r(3)－1，x2＝－2eq \r(3)－1.
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)－1，－2eq \r(3)－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－eq \f(2,3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，－\f(2,3))).
2．用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2eq \r(3)x；
(2)2x2－5＋eq \r(2)x＝0.
解：(1)移项，得x2－2eq \r(3)x＝－3.
配方，得x2－2eq \r(3)x＋(eq \r(3))2＝－3＋(eq \r(3))2，
即(x－eq \r(3))2＝0.∴x1＝x2＝eq \r(3)，
∴原一元二次方程的解集是{eq \r(3)}．
(2)移项，得2x2＋eq \r(2)x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋eq \f(\r(2),2)x＝eq \f(5,2).
配方，得x2＋eq \f(\r(2),2)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(21,8).
∴x＋eq \f(\r(2),4)＝±eq \f(\r(42),4).
∴x1＝eq \f(－\r(2)＋\r(42),4)，x2＝eq \f(－\r(2)－\r(42),4)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(2)＋\r(42),4)，\f(－\r(2)－\r(42),4))).
3．用公式法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2eq \r(2)x；
(2)3x2＝－6x－1.
解：(1)将方程化为一般形式为x2－2eq \r(2)x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2eq \r(2)，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2eq \r(2))2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是∅.
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝eq \f(－6±\r(24),2×3)＝eq \f(－3±\r(6),3)，
∴x1＝eq \f(－3＋\r(6),3)，x2＝eq \f(－3－\r(6),3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－3＋\r(6),3)，\f(－3－\r(6),3))).
[例4] 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
eq \a\vs4\al()
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
[跟踪训练]
下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
解析：选C 利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．A项：Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B项：Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C项：Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C.
角度一 直接应用根与系数的关系进行计算
[例5] (链接教科书第50页例2)已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)；(2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2).
[解] 根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(－3,－1)＝3.
eq \a\vs4\al()
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
常见变形还有：
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(2)|x1－x2|＝eq \r(（x1－x2）2)＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2).
角度二 求字母系数的值或范围
[例6] 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq \f(1,4)k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
[解] Δ＝[－(k＋1)]2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)k2＋1))＝2k－3，Δ≥0，k≥eq \f(3,2).
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝eq \f(1,4)k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4(舍去)．
(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝eq \f(3,2).
方程为x2－eq \f(5,2)x＋eq \f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq \f(5,4)>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程为x2＋eq \f(5,4)＝0，而方程无解，
所以k≠－1，综上k＝eq \f(3,2).
eq \a\vs4\al()
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
[跟踪训练]
1．关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3 B．3
C．－2 D．－3或2
解析：选C ∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
2．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝11，求k的值．
解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
所以Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤eq \f(5,8).
所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,8))).
(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.
因为xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝11，所以2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤eq \f(5,8)，所以k＝－1.
1．一元二次方程x2－9＝0的解集是( )
A．{3} B．{－3}
C．{－3，3} D．{－9，9}
解析：选C ∵x2－9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，故选C.
2．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是( )
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
解析：选AB 当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝eq \f(5,4)，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误．故选A、B.
3．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是( )
A.eq \f(3,2)，－2 B.eq \f(2,3)，－2
C．－eq \f(2,3)，2 D．－eq \f(3,2)，2
解析：选B 设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x2－1＝2x＋5化为一元二次方程的一般形式为3x2－2x－6＝0.∵a＝3，b＝－2，c＝－6，∴x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝－eq \f(－2,3)＝eq \f(2,3)，x1x2＝eq \f(c,a)＝eq \f(－6,3)＝－2.故选B.
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
解析：x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4, 即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.
答案：1，4
5．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，∴m的最大整数值是4.
答案：4
新课程标准解读
核心素养
1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数
数学运算
2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围
数学运算
一元二次方程解集的求法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系