高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质学案及答案

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清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值eq \f(x,y)在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由eq \f(x,y)变成了eq \f(x＋m,y＋m)，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用．
[问题] 不等式还有哪些重要的性质呢？



知识点一 比较实数a，b的大小
1．a－b<0⇔a＜b．
2．a－b＝0⇔a＝b．
3．a－b>0⇔a>b．
1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是．
2．p⇔q的含义是什么？
提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推(等价)．
当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
解析：∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
∴m3>m2－m＋1.
答案：m3>m2－m＋1
知识点二 不等式的性质
性质1：如果a>b，那么a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋c.
性质2：如果a>b，c>0，那么aceq \a\vs4\al(>)bc.
性质3：如果a>b，c<0，那么aceq \a\vs4\al(<)bc.
性质4：如果a>b，b>c，那么aeq \a\vs4\al(>)c.(传递性)
性质5：a>b⇔b推论1：如果a＋b>c，那么aeq \a\vs4\al(>)c－b.(不等式的移项法则)
推论2：如果a>b，c>d，那么a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋d.(同向可加性)
推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么aceq \a\vs4\al(>)bd.
推论4：如果a>b>0，那么aneq \a\vs4\al(>)bn(n∈N，n>1)．
推论5：如果a>b>0，那么eq \r(a)eq \a\vs4\al(>)eq \r(b).
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
1．下列命题正确的是( )
A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2
B．aC．a>b且cb＋d
D．a>b⇒a2>b2
答案：A
2．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是________(填序号)．
①a＋1>b－3； ②ac>bc；
③a2>b2; ④a－b>0.
答案：①④
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是______________．
答案：a>－b>b>－a
[例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
[解析] ∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B为假命题；
由a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－eq \f(1,b)＞－eq \f(1,a)＞0⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))⇒ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
运用不等式性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．
[跟踪训练]
(多选)下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b
解析：选CD A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C、D正确.
[例2] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,（a－c）2)＞eq \f(e,（b－d）2).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,（a－c）2（b－d）2)，得eq \f(1,（a－c）2)＜eq \f(1,（b－d）2).
又e＜0，∴eq \f(e,（a－c）2)＞eq \f(e,（b－d）2).
[母题探究]
(变设问)本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d).
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟踪训练]
若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，
所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[例3] (1)已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围；
(2)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] (1)∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8，32)，a－b的取值范围是(－7，2)．
(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ1＋λ2，,3＝λ1－2λ2，))解得λ1＝eq \f(5,3)，λ2＝－eq \f(2,3).
又－eq \f(5,3)≤eq \f(5,3)(a＋b)≤eq \f(5,3)，－2≤－eq \f(2,3)(a－2b)≤－eq \f(2,3)，
∴－eq \f(11,3)≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)，1)).
[母题探究]
(变设问)在本例(1)条件下，求eq \f(a,b)的取值范围．
解：∵2＜b＜8，∴eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，而1＜a＜4，
∴1×eq \f(1,8)＜a·eq \f(1,b)＜4×eq \f(1,2)，即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
故eq \f(a,b)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)).
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性质求代数式范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[跟踪训练]
已知－6＜a＜8，2＜b＜3，则eq \f(a,b)的取值范围为________．
解析：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴eq \f(1,3)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，
①当0≤a＜8时，0≤eq \f(a,b)＜4；
②当－6＜a＜0时，得0＜－a＜6，即0＜－eq \f(a,b)＜3，
故－3＜eq \f(a,b)＜0.由①②得：－3＜eq \f(a,b)＜4.
故eq \f(a,b)的取值范围为(－3，4)．
答案：(－3，4)
实际问题中的不等关系
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效．可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性．根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠．在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．
[问题探究]
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．
提示：(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq \f(a,b)，加入m克糖，即证明不等式eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)(其中a，b，m为正实数，且b>a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)＝eq \f(b（a＋m）－a（b＋m）,b（b＋m）)＝eq \f(m（b－a）,b（b＋m）).
∵a，b，m为正实数，且a∴b＋m>0，b－a>0，
∴eq \f(m（b－a）,b（b＋m）)>0，
即eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b).
(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq \f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为eq \f(c,d)，且eq \f(a,b)a>0，d>c>0)．
证明：∵eq \f(a,b)且b>a>0，d>c>0，
∴ad0，
eq \f(a,b)－eq \f(a＋c,b＋d)＝eq \f(ab＋ad－ab－bc,b（b＋d）)＝eq \f(ad－bc,b（b＋d）)<0，
即eq \f(a,b)eq \f(c,d)－eq \f(a＋c,b＋d)＝eq \f(cb＋cd－ad－cd,d（b＋d）)＝eq \f(cb－ad,d（b＋d）)>0，
即eq \f(a＋c,b＋d)∴eq \f(a,b)(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq \f(a,b)，加入m克水，求证：eq \f(a,b)>eq \f(a,b＋m)(其中b>a>0，m>0)．
证明：eq \f(a,b)－eq \f(a,b＋m)＝eq \f(ab＋am－ab,b（b＋m）)＝eq \f(am,b（b＋m）)>0，
∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b＋m).
[结论] (1)如果一个分式eq \f(a,b)(b>a>0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大；
(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间；
(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小．以上证明过程考查了逻辑推理的核心素养．
[迁移应用]
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？
解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且aeq \f(10,100)≤eq \f(a,b)故住宅的采光条件变好了．
1．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
解析：选B ∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.
2．(多选)若a，b，c为实数，则下列命题正确的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若aC．若a>b>0，则eq \f(1,a)D．若ad>0，则ac解析：选ACD 对于A，若ac2>bc2，则a>b，故正确；对于B，根据不等式的性质，若ab2，故错误；对于C，若a>b>0，则eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a)，故正确；对于D，若ad>0，则ac3．(2021·河北邯郸高二月考)有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c，因此bb>a>c.
答案：d>b>a>c
4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝1.))
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
答案：[5，10]
新课程标准解读
核心素养
理解不等式的概念，掌握不等式的性质
数学抽象、逻辑推理
利用不等式性质判断命题的真假
利用不等式性质证明不等式
利用不等式性质求代数式的值或范围