高中数学2.2.3 一元二次不等式的解法导学案及答案

这是一份高中数学2.2.3 一元二次不等式的解法导学案及答案，共9页。


城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．
[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？



知识点 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.
eq \a\vs4\al()
判断一个不等式是一元二次不等式的关键
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)特别要注意二次项的系数不为0.
2．用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
3．用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2 mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？
提示：不一定．当m≠0时，mx2－5x＋2<0是一元二次不等式．
1．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
答案：{x|x<0，或x>2} {x|02．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案：R
[例1] (链接教科书第69页例1)解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0；
(3)－2x2＋5x－2＜0；
(4)－eq \f(1,2)x2＋3x－5＞0.
[解] (1)法一：因为2x2＋7x＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(7,2)x＋\f(3,2)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(x＋3)，
所以2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(x＋3)＞0，即x＞－eq \f(1,2)或x＜－3，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
法二：因为2x2＋7x＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(7,2)x))＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7,4)))2－eq \f(25,8)，
所以2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(25,8)＞0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7,4)))eq \s\up12(2)＞eq \f(25,16)，
所以x＋eq \f(7,4)＞eq \f(5,4)或x＋eq \f(7,4)＜－eq \f(5,4)，
即x＞－eq \f(1,2)或x＜－3，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
(2)因为－4x2＋18x－eq \f(81,4)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(9,2)x＋\f(81,16)))
＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)，
所以－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)≥0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)≤0，x＝eq \f(9,4).
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9,4))).
(3)因为－2x2＋5x－2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(5,2)x＋1))＝－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,4)))\s\up12(2)－\f(9,16)))＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,8)，
所以－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,8)＜0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＞eq \f(9,16).
所以x－eq \f(5,4)＞eq \f(3,4)或x－eq \f(5,4)＜－eq \f(3,4)，
解得x＞2或x＜eq \f(1,2).
所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．
(4)因为－eq \f(1,2)x2＋3x－5＞0，
所以x2－6x＋10＜0，
又因为x2－6x＋10＝(x－3)2＋1＜0无解，
所以原不等式的解集为∅.
eq \a\vs4\al()
解不含参数的一元二次不等式的方法
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；
方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
[跟踪训练]
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1\f(3,2)))))
解析：选D 因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)＜0，即(x＋1)(2x－3)＞0，
所以x＞eq \f(3,2)或x＜－1，
所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞\f(3,2)，))或x＜－1)).
2．解不等式：－2解：原不等式等价于不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3x>－2， ①,x2－3x≤10， ②))
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集{x|－2≤x<1，或2[例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a≠0)．
[解] ①当a＜0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＜eq \f(1,a)或x＞1.
②当a＞0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.
若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解；
若a＞1，即eq \f(1,a)＜1时，解得eq \f(1,a)＜x＜1；
若0＜a＜1，即eq \f(1,a)＞1时，解得1＜x＜eq \f(1,a).
综上可知，当a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,a)，或x＞1))))；
当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1＜x＜\f(1,a)))))；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜1)))).
eq \a\vs4\al()
含参一元二次不等式的解法

[跟踪训练]
解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)＞0(a∈R)．
解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)＞0，
所以(x＋a)(x＋1－a)＞0，
当－a＞a－1，即a＜eq \f(1,2)时，x＜a－1或x＞－a，
当a－1＞－a，即a＞eq \f(1,2)时，x＜－a或x＞a－1，
当a－1＝－a，即a＝eq \f(1,2)时，x≠－eq \f(1,2)，
所以当a＜eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x＜a－1，或x＞－a}，
当a＞eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x＜－a，或x＞a－1}，
当a＝eq \f(1,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,2)，x∈R)))).
[例3] (链接教科书第71页习题B组7题)(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)A．14 B．－10
C．10 D．－14
[解析] 由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且a<0.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))
所以a＋b＝－14.
[答案] D
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，
所以x1＝－eq \f(1,2)与x2＝eq \f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6) .))
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
eq \a\vs4\al()
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集；
(2)求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解．
[跟踪训练]
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.))
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)[例4] (链接教科书第71页例3)解下列不等式：
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；
(2)eq \f(2－x,x＋3)>1.
[解] (1)原不等式可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2x－1）（3x＋1）≥0，,3x＋1≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,3)或x≥\f(1,2)，,x≠－\f(1,3).))
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,3)，或x≥\f(1,2))))).
(2)法一：原不等式可化为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,2－x>x＋3，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3<0，,2－x解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－3，,x<－\f(1,2)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<－3，,x>－\f(1,2)))，∴－3∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3法二：原不等式可化为eq \f(（2－x）－（x＋3）,x＋3)>0，化简得eq \f(－2x－1,x＋3)>0，即eq \f(2x＋1,x＋3)<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3eq \a\vs4\al()
分式不等式的解法
(1)形如eq \f(f（x）,g（x）)>a(a≠0)的分式不等式可同解变形为eq \f(f（x）－ag（x）,g（x）)>0，故可转化为解g(x)[f(x)－ag(x)]>0；
(2)解eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.(f(x)，g(x)为关于x的表达式)
[跟踪训练]
解不等式：(1)eq \f(x＋2,x)≥0；
(2)eq \f(2x－1,3x＋1)＞1.
解：(1)eq \f(x＋2,x)≥0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x＋2）≥0，,x≠0))⇔x≤－2或x＞0，
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪(0，＋∞)．
(2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3x＋1)－1＞0，
∴eq \f(2x－1－3x－1,3x＋1)＞0，即eq \f(－x－2,3x＋1)＞0，
∴eq \f(x＋2,3x＋1)＜0⇔(x＋2)(3x＋1)＜0，∴－2＜x＜－eq \f(1,3).
∴不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3))).
1．下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中一定是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选D 根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不等式．
2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．(－∞，－n)∪(m，＋∞) B．(－n，m)
C．(－∞，－m)∪(n，＋∞) D．(－m，n)
解析：选B 不等式等价于(x－m)(x＋n)<0.∵m＋n>0，∴m>－n.故原不等式的解集是(－n，m)．故选B.
3．不等式eq \f(2x－1,x＋3)>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
B．(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(4，＋∞)
D．(－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：选D eq \f(2x－1,x＋3)>0⇔(2x－1)(x＋3)>0⇒x<－3或x>eq \f(1,2).故选D.
4．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝eq \f(1,3)，x2＝eq \f(1,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(5,a)，x1x2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(c,a)，解得a＝－6，c＝－1.
答案：－6，－1
新课程标准解读
核心素养
1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式
数学运算
2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系
数学运算
不含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
两个“二次”间的关系
分式不等式的解法