初中17.2 勾股定理的逆定理说课ppt课件

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1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.重点难点：1.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．     2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
知识点一 勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,② 7,24,25满足72+242=252,③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　)A．∠A为直角 　　　　B．∠B为直角C．∠C为直角 　　　　D．△ABC不是直角三角形
2.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都不对
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
知识点三 互逆命题与互逆定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
在前面的内容我们学习了两个命题，分别为：
思考：这两个命题有什么不同？
结论：它们是题设和结论正好相反的两个命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
1.已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则 ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3
2.下列定理中，没有逆定理的是(　　)A．直角三角形的两锐角互余B．若三角形三边长a，b，c (其中a＜c，b＜c) 满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形C．全等三角形的对应角相等D．互为相反数的两数之和为0
知识点四 勾股定理的逆定理的应用
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．
知识点四 勾股定理及其逆定理的综合应用
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解：连接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.
2.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.
解：∵BC=16，AD是BC边上的中线，∴BD=CD= BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
4.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题成立．(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．逆 命题不成立．(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．逆命题不成立．(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题成立．
5.已知△ABC，AB = n²-1，BC = 2n，AC = n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB ²+BC ²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n ²+1)² =AC ²，∴△ABC是直角三角形，边AC 所对的角是直角.
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得
6.如图，在△ABC中，AB：BC：AC=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．