浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合B，利用交集概念即可得出答案.
【详解】
故，，即C正确.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
3. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：D
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式性质分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
且，所以，故B正确；
对于选项C：例如，满足题意，但，故C错误；
对于选项D：若，则，
所以，故D错误；
故选：B.
5. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单调性解不等式即可，注意函数的定义域.
【详解】因为是定义在上的增函数，且，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
6. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.
【详解】对于A，由函数的图象可知，
由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于B，由函数的图象可知，
由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于C，由函数的图象可知，
由的图象可知且，符合题意，正确；
对于D，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，错误.
故选：C
7. 正数，满足，则的最小值为（ ）．
A. 4B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为为正数，且，所以有，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，属于中档题.
8. 已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 当时，
B. 函数的最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，结合分式不等式的解法、数形结合思想、一次函数与反比例函数的单调性逐一判断即可.
【详解】由，或，
由，或，
所以，
因此选项A正确；
当时，，
当时，，
当时，
当时，，
所以函数的最小值为，选项B正确；
当时，显然单调递增，选项C不正确；
函数图象如下图所示：
因为关于x的方程恰有两个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有两个不同的交点，
因此有或，因此选项D正确，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想、转化法判断方程解的问题是解题的关键
二、多项选择题（每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列函数中，是偶函数且值域为的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AD：根据值域即可排除；对于BC：根据偶函数的对于以及函数值域分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即值域不为，故A错误；
对于选项B：因为的定义域为R，且，
可知为偶函数，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可知的值域为，故B正确；
对于选项C：因为的定义域为，且，
可知为偶函数，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可知的值域为，故C正确；
对于选项D：当时，，即值域不为，故D错误；
故选：BC.
10. 受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【详解】由题意知：，所以，，
，
由基本不等式可得，所以，
所以故，当且仅且时等号全部成立.
故A选项正确，B选项错误
又由，
故易知，即C项正确；
，，
取，此时，
所以D选项不一定成立，
故选：AC．
11. 设函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的值域是；
B 任意且，都有；
C. 任意且，都有；
D. 规定，其中，则.
【答案】ABD
【解析】
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断AB；分别取特殊值代入即可验证C；对D由递推式得到的表达式即可判断.
【详解】对于A：当时，单调递增，
所以有，
因为，所以，
因此当时，；
因为是奇函数，所以当时，，
所以的值域是，故A正确；
对于B： 函数是增函数，
由A可知：奇函数在时，单调递增，
∴在时也单调递增，所以该函数是实数集上的增函数，故B正确；
对于C：当任意且时，令，则有
，，显然，
因此不成立，故C不正确；
对于D：当时，，
，
于是有，因此，故D正确，
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算：____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据指数幂运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
13. 已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【详解】由题意可得在上为单调减函数，且，
则时，时，时或；
由可得或，则或，
故不等式的解集为．
故答案为：．
14. 已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论整数解的正负性，结合二次函数性质列式求解.
【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，且，
当中有负整数时，若负整数小于等于−2，
根据对称性可知：也符合题意，此时整数集不止2个，
所以恰有2个整数只能为，
则，解得；
当中没有负整数时，则恰有2个整数，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合为全体实数集，集合或，．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或，.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；
（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又或x>5，
所以；
【小问2详解】
由题可得，
当时，则 ，即时，此时满足，
②当时，则，所以，
综上，实数的取值范围为.
16. 已知函数．
（1）当时，函数在上单调，求b的取值范围；
（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集.
【小问1详解】
当时，的对称轴为，
由于函数在上单调，
所以或，
解得或，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
由于的解集为，
所以，即，
所以，
所以不等式，即，
所以，，
解得或，所以不等式的解集为.
17. 习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.
（1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】（1）该项目会获利，当时，S取得最大值
（2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
【解析】
【分析】（1）当时，由项目获利为求解；
（2）根据题意求的解析式，结合二次函数以及基本不等式求解.
【小问1详解】
当时，该项目获利为S，
则，
当时，则，可得，
因此该项目会获利，当时，S取得最大值.
【小问2详解】
由题意可知，生活垃圾每吨平均处理成本为：
，
当时，，
所以当时，取得最小值240；
当时，
，
当且仅当，即时，取得最小值200，
因为，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
18. 已知是定义在上的函数，若满足且.
（1）求的解析式；
（2）判断单调性，并利用定义证明你的结论；
（3）设函数，若对都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数在上为单调递增，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义和函数值求得，，即可得解析式；
（2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明；
（3）根据题意分析可知，结合单调性可知在1,2上有解，利用参变分离结合存在性问题分析求解.
【小问1详解】
因为，可知为奇函数，
则，即，
且，即，
则，且，
可知为奇函数，即，符合题意，
所以.
【小问2详解】
函数在上为单调递增，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，，
可得，即，
所以函数在上为单调递增.
【小问3详解】
对都有成立，可知，
由（2）可知在单调递增，则，
可得在1,2上有解，只需在1,2上有解，
因为在内单调递减，在上单调递增，
且，可知在1,2上的最小值为，
可得，解得，即实数的取值范围为.
19. 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义.
（1）已知集合，
（i）求的值，并用列举法表示；
（ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）；
（2）证明：.
【答案】（1）①；；②4
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）分析可知当元素与数集的关系相同时，，不同时.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案；
（2）结合（1）中结论分析证明即可.
【小问1详解】
对于两个数集，
若，则，即，；
若，则，即，；
若，则，即，；
若，则，即，；
综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时.
①因为集合，
且，所以，
又因为，所以；
②对任意，
若元素与数集的关系相同时，且；
若元素与数集的关系不相同时，或；
若取到最小值，则，
当为的子集与的并集时，此时取到最小值4.
【小问2详解】
由（1）可知：对于两个数集，
综上所述：当元素与数集关系相同时，则，
可得；
当元素与数集的关系不同时，则，
可得；
综上所述：.