河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数性质，化简集合，然后根据集合的交集运算即可
【详解】根据题意，易得：
又
则有：
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；
【详解】因为，所以或，
则可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3. 函数与的图象（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，由与的图象关于原点对称即可得解.
【详解】解：令，则
与的图象关于原点对称，
与的图象关于原点对称.
故选：
【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.
4. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. 3B. 5C. 30D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定，再利用等比数列的前和公式代入即可求出答案.
【详解】若公比，则，，右边，等式不成立，故，
则，显然，所以，解得，
又因为，代入得，
所以，
故选：D.
5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故选：C.
6. 关于的方程有实数根，且，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，当时，方程的二实根为，A正确；
对于B，方程，即，，解得，
当时，，B错误；
对于C，令，依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，当时，，C正确；
对于D，当时，，D正确.
故选：B
7. 已知角满足，，则（ ）
A B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出.
【详解】因为，
，
所以，
即，则，
因为，所以，
其中，
故，解得.
故选：B.
8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设交于点，根据三角形相似性质得到，即可得到答案.
【详解】设交于点，如图所示：
因为，所以，即.
又因为，
即，解得.
又因为，，所以.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率：
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对数运算法则和单调性求解即可.
【详解】由换算公式和图表可知，，，，
又因为函数在0,+∞上单调递增，
所以对于A：，说法正确；
对于B：，说法错误；
对于C：，，，说法正确；
对于D：，说法错误；
故选：AC
10. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 向量与向量垂直
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，举出反例即可；B选项，由向量数乘运算和数量积公式得到；C选项，根据向量数量积公式得到，故；D选项，计算出，得到垂直关系.
【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误；
B选项，，故，则，B正确；
C选项，，故，故，C正确；
D选项，，
故向量与向量垂直，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数在区间内有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由得，从而得，作出单位圆以及且与的函数图象，结合图象逐一判断即可得解.
【详解】即，即，
当时，上式显然不成立，
故等价于，所以.
对于，设，作出单位圆，
则由三角函数定义可知，
设扇形的面积为，则，
即，故，故A正确；
对于，画出且与的函数图象，
因为的最小正周期为，
所以由图象可知与之间的距离大于，即，故B正确；
对于，由图得，
故，故，所以，故C错误；
对于D，因为，
所以
，
由图可知，均大于0，
由C项知，故，
又由B项知，所以，
所以即，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于选项D判断，关键点1是根据已知条件结合问题的结构特征将转化成，接着将其弦切互化得到；关键点2是利用选项B和C中的和结合以及两角和与差的余弦公式，将转化成，进而结合图象且借助选项B和C中的结论即可判断得解.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据角的余弦定理形式求解出的值，再根据余弦定理求解出的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
13. 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设fx=ax2+bx+c，利用平均变化率的定义计算即可.
【详解】设fx=ax2+bx+c，
则，
由题意知，解之得，
显然c的取值不改变结果，不妨取，则.
故答案为：
14. 已知函数，，，则数列通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明函数为奇函数，故的图像关于对称，故，由此将的表达式两两组合求它们的和，然后求得的表达式.
【详解】由于，所以函数为奇函数，故的图像关于对称，由此得到，所以.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数，.
（1）求方程的实数解；
（2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解.
（2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解.
【小问1详解】
由，代入方程得：，
即，解得，即.
【小问2详解】
不等式即，
原不等式可化为对都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
故当时，，
所以，即，解得：.
16. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数是奇函数，求的值；
（3）若，当时函数取得最大值，求的值．
【答案】（1），．
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可；
（2）先根据平移变换求出表达式，在根据题意列出等式求解即可；
（3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，因此可求出，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，则其最小正周期，
令，解得，
则其单调递增区间为．
【小问2详解】
将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则，
若函数是奇函数，则,即
因为，所以时，．
【小问3详解】
由题知，则，从而，，因此，
因为，且，所以，
因此，，
所以，
所以．
17. 中，内角、、的对边分别为、、.
（1）若，，求的值；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
【小问2详解】
证明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
18. 已知数列的前n项和为，，，.
（1）求；
（2）令，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意与之间的关系将用表示，得到，得到是等差数列，进而得到；
（2）化简，利用裂项相消法求和即可证明.
【小问1详解】
因为，，
所以，
故，及，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
故，则.
【小问2详解】
因为，（，），
所以（，）.
又符合上式，所以.
因为，
所以
，
所以
.
19. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质.
（1）函数具有性质，求.
（2）设函数，
（ⅰ）判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由；
（ⅱ）证明：.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）不具有性质，理由见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对任意的且，由变形得到，得到，求出；
（2）（ⅰ）求导，得到的单调性，得到，假设具有性质，即，所以，根据，得到，显然不能恒成立，故假设不成立，不具有性质；
（ⅱ）先得到，由对数平均不等式得到，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论.
【小问1详解】
定义域为，
对任意的且，
有，
即，
因为，所以，故，
故，故；
小问2详解】
不具有性质，理由如下：
的定义域为，
，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，故，
假设函数具有性质，即，所以，
因为，所以，
故对于任意的恒成立，
即恒为0，显然不可能，故假设不成立，
故不具有性质；
（ⅱ）因为，所以，，
下面证明，
即证，
令，则，
令，，
则，
故在上单调递增，
故，，
所以，即，所以，
当时，，
当时，令
，
令，，
，
故在上单调递增，
又，其中，故，
所以，故，
，其中，而在上单调递减，
故，，
综上，.
【点睛】方法点睛：对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明
玻璃材料
材料1
材料2
材料3
0.7
0.8
0.9