江苏省金陵海门中学2024-2025学年高三上学期期中调研数学试题

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第I卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 已知集合A＝{－1,0,1,2,3},B＝{x|x3－2x＜4}，则A∩B的真子集的个数为( )
A.7B.8C.16D.15
2． 在复平面内，复数z＝(3＋i)(1－i)对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3． 设a，b都是不等于1的正数，则“lga 4＞lgb 4＞1”是“4a＜4b”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4． 已知sin α sin(α＋π6)＝cs α sin(π3－α),则tan(2α＋π4)＝( )
A.3B.33C.2－3D.－2－3
5． 已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有( )
A.(a＋b)//(a－b)B.a在b方向上的投影向量为(a·b)－b
C.若|a＋b|＝3，则θ＝2π3D.若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a//b
6． 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1, 且Sn＋1－2Sn＝2n＋1,则S7a5＝( )
A.36946B.36146C.36746D.36546
7． 函数f(x)＝23sin2(ωx)＋sin(20ωx＋2π3)，其中ω＞0,，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )
A.ω＝1
B.函数f(x)图象关于点(π3，3)对称
C.函数f(x)图象向右移φ(φ＞0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12
D.若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3＋1
8． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋2)，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)有两个零点B.当x＞0时，f(x)＝－ex(－x＋2)
C.f(x)＞0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)D.∀ x1，x2∈R都有|f(x1)－f(x2)|＜3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 已知函数f(x)＝|sin2x|,g(x)＝cs2 2x，则( )
A.f(x)与g(x)的值域相同B.f(x)与g(x)的最小正周期相同
C.曲线y＝f(x)与y＝g(x)有相同的对称轴
D.曲线y＝f(x)与y＝g(x)有相同的对称中心
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()
A.若{an}是等差数列，且Sn＝2n2＋4n＋k，则k＝0
B.若{an}是等比数列，且Sn＝32n＋1＋k，则k＝－3
C.若Sn＝3n2－5n＋2，则{an}是等差数列
D.若{an}是公比大于1的等比数列，则S2n＞2Sn
11．已知函数f(x)及其导函数f＇(x)的定义域均为R，若f(3x＋1)是偶函数，且f(2＋x)－f(2－x)＝x，令g(x)＝f＇(x)，则下列说法正确的是( )
A.函数y＝12x－f(x＋2)是奇函数B.g(1)＝0
C.函数g(x)的图象关于点(3,1)对称D.i=126g(i)=3252
第II卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数f(x)＝x3＋2sinx，若m＞0，n＞0，且f(2m)＋f(n－1)＝f(0)，则1m+2n的最小值是 .
13．已知∆ABC的外心为O，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a：b：c＝5：6：5.若BA⋅BC＝7，则BO⋅BA＝ .
14．若存在实数m，使得对于任意的x∈[a,b]，不等式m2＋sin x cs x≤2sin(x－π4)·m恒成立，则b－a取得最大值时，sina+b2＝ .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(13分)已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且3a sin C－c cs A－c＝0.
(1) 求A； (2) 若a＝4, 则∆ABC面积为23，求b、c的值．
16．(15分)已知数列{an}中a1＝1,an＋1＝2an＋3,n∈N＊.
(1) 证明数列{an＋3}是等比数列；
(2) 若数列{bn}的通项公式为bn＝(n＋1)·(an＋3)，求数列{bn}的前n项和Sn.
17．(15分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1,M，N分别为BC和BB1的中点，P为棱A1C1上的动点，AN⊥A1C1.
(1) 证明：平面ANP⊥平面A1MP；
(2) 设A1P=λA1C1，是否存在实数λ，使得平面AA1B1B与PMN平面所成的角的余弦值为63?
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点、上顶点，若椭圆C的离心率为32，且点O到直线AB的距离为255.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.
①求证：1k1+1k2为定值，并求出该定值；
②设直线BM与x轴交于点T，求∆BNT面积S的最大值.
19．(17分)已知函数f(x)＝ex－ax－cs x，且f(x)在区间［0，＋∞)上的最小值为0．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 设函数y＝φ(x)在区间D上的导函数为y＝φ＇(x),x⋅φ＇(x)φ(x)＞1对任意实数x∈D恒成立，则称函数y＝φ(x)在区间D上具有性质S.
①求证：函数f(x)在区间(0,＋∞)具有性质S；
②记i=1np(i)=p(1)p(2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅p(n)，其中n∈N＊，求证：i=1ni⋅sin1i＞1n(n+1).
注意事项：
1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。