河南省郑州市郑中国际学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省郑州市郑中国际学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。

A．5B．4C．3D．2
2．（3分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A＝∠B﹣∠CD．a：b：c＝8：15：17
3．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为x轴的正方向，以正北方向为y轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是 （﹣4，﹣1）和 （1，2）则食堂的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，3）C．（2，4）D．（﹣1，2）
5．（3分）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，2），其关于y轴对称的点F的坐标为（3，n），则m+n的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
7．（3分）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（ ）
A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0）
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．点（﹣2，1）在函数图象上
D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣3kx+k的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A；…按这个规律平移得到点A100，则点A100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，2100）B．（299，2100）
C．（2100﹣1，299）D．（299+1，2100）
二.填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一次函数的图象经过（0，4），且y随x的增大而增大，请你写出一个满足条件的一次函数的解析式 ．
12．（3分）已知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣2，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是 ．
13．（3分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线长度是 cm．
14．（3分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝ ．
15．（3分）如图，一次函数y＝﹣0.75x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（1）；
（2）．
17．（8分）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2，
（1）求6a+b的算术平方根；
（2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根．
18．（8分）在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣2，2m﹣7），点N（n，3）．
（1）若M在x轴上，求M点的坐标；
（2）若MN∥y轴，且MN＝2，求n的值．
19．（9分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数）
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）．
21．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，联结这些小正方形的顶点，可得到一些线段．图1中联结小正方形的顶点构成了一个正方形ABCD．
（1）这个正方形ABCD的面积是多少？正方形的边长是多少？
（2）根据图2你能通过联结小正方形的顶点构成一个面积为10的正方形EFGH吗？如果能请画出正方形．
（3）如图3，已知数轴上点M表示的数是﹣1，利用（2）的结论，你能在数轴上找到点P，使得点P与点M的距离为吗？如果能请在数轴上画出P点的位置，且P所表示的数是 ．（使用直尺和圆规，作图不要求写作法，但是要求保留作图痕迹．）
22．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
23．（12分）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（4）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）在实数，，14，0，，，，0.1616616661⋯（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：＝3，
无理数：，，，0.1616616661⋯（两个1之间依次多一个6）中，共4个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A＝∠B﹣∠CD．a：b：c＝8：15：17
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、设a＝8k，b＝15k，c＝17k，
∵（8k）2+（15k）2＝（17k）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
3．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】原式利用立方根、平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：A、＝3，错误；
B、＝﹣3，正确；
C、±＝±4，错误；
D、＝|﹣2|＝2，错误，
故选：B．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为x轴的正方向，以正北方向为y轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是 （﹣4，﹣1）和 （1，2）则食堂的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，3）C．（2，4）D．（﹣1，2）
【分析】根据食堂的位置在教学楼的左边3格上，则横坐标减3；根据食堂的位置在综合楼的上面4格上，则纵坐标加4，最后得到食堂的坐标．
【解答】解：
1﹣3＝﹣2，
﹣1+4＝3，
所以食堂的坐标（﹣2，3），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据位置来确定点的坐标．
5．（3分）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键．
【解答】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；
而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数；
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（3分）如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，2），其关于y轴对称的点F的坐标为（3，n），则m+n的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【分析】利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．
【解答】解：∵E（m，2），F（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
7．（3分）将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（ ）
A．函数的图象与y轴的交点坐标是（3，0）
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．点（﹣2，1）在函数图象上
D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出函数解析式，再逐一分析即可．
【解答】解：将直线y＝2x向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x+3，
A．x＝0时，y＝x+3＝3，直线y＝2x+3与y轴交于（0，3），错误；
B．直线y＝2x+3经过第一、二、三象限，正确；
C．x＝﹣2时，y＝2x+3＝﹣1，点（﹣2，﹣1）在函数图象上y，错误；
D．k＝2＞0，直线y＝2x+3随x的增大而增大，
若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象的几何变换和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解．
【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣3kx+k的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据正比例函数的图象判断k的符号，再判断一次函数的图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、正比例函数y＝kx的图象可知k＞0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
B、正比例函数y＝kx的图象可知k＞0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
C、正比例函数y＝kx的图象可知k＜0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意；
D、正比例函数y＝kx的图象可知k＜0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限．
10．（3分）如图，点A1（1，1），点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A；…按这个规律平移得到点A100，则点A100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，2100）B．（299，2100）
C．（2100﹣1，299）D．（299+1，2100）
【分析】根据所给平移方式，依次求出点An的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（1，1），
点A2的坐标为（3，2），
点A3的坐标为（7，4），
点A4的坐标为（15，8），
…，
由此可见，点An的横坐标可表示为2n﹣1，纵坐标可表示为2n﹣1（n为正整数），
当n＝100时，
点A100的坐标为（2100﹣1，299）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出点An的横纵坐标的变化规律是解题的关键．
二.填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一次函数的图象经过（0，4），且y随x的增大而增大，请你写出一个满足条件的一次函数的解析式 y＝x+4（答案不唯一） ．
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k＞0），再把（0，4）代入得出b的值即可得出结论．
【解答】解：由于y随x增大而增大，则k＞0，取k＝1；
设一次函数的关系式为y＝x+b；
代入（0，4）得：b＝4；
则一次函数的解析式为：y＝x+4（k为正数即可）．
故答案为：y＝x+4（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．
12．（3分）已知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣2，则直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是 （﹣2，0） ．
【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y＝mx+n的y值为0，则mx+n＝0；已知此方程的解为x＝﹣2．因此可得答案．
【解答】解：∵方程的解为x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时mx+n＝0；
又∵直线y＝mx+n与x轴的交点的纵坐标是0，
∴当y＝0时，则有mx+n＝0，
∴x＝﹣2时，y＝0．
∴直线y＝mx+n与x轴的交点坐标是（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．
任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13．（3分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线长度是 13 cm．
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2+BC2＝169，
所以AB＝13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
故答案为：13．
【点评】本题考查平面展开﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（3分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝ 2.4 ．
【分析】根据函数图象中的数据可以先求出甲走路的速度，然后再求出乙走路的速度，然后即可计算出a的值．
【解答】解：由图象可得，
甲走路的速度为：120÷3＝40（m/min），
则乙走路的速度为：120÷﹣40＝50（m/min），
∴a＝120÷50＝2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
15．（3分）如图，一次函数y＝﹣0.75x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 （﹣6，0）或（，0） ．
【分析】分两种情况讨论：当A点落在y轴坐标轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（4﹣m）2＝82+m2，求出m；当A点落在y轴负半轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（4﹣m）2＝22+m2，求出m；即可求解．
【解答】解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设C（m，0），
如图1，当A点落在y轴坐标轴上A'处时，
连结AA'，A'C，
∵A与A'关于BC对称，
∴AC＝A'C，AB＝A'B＝5，
∴OA'＝8，
∴AC＝4﹣m，AC＝A'C＝4﹣m，
在Rt△A'CO中，（4﹣m）2＝82+m2，
∴m＝﹣6，
∴C（﹣6，0）；
如图2，当A点落在y轴负半轴上A'处时，
连结AA'，A'C，
由对称可得，AC＝A'C＝4﹣m，A'B＝AB＝5，
∴OA'＝2，
在Rt△A'CO中，（4﹣m）2＝22+m2，
∴m＝，
∴C（，0）；
综上所述：C点坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3+﹣2
＝；
（2）原式＝2﹣2+3﹣（6﹣1）
＝5﹣2﹣5
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
17．（8分）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2，
（1）求6a+b的算术平方根；
（2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义可求出a、b的值，代入计算6a+b的值，再求其算术平方根即可；
（2）估算无理数的大小，确定c的值，进而求出2a+3b﹣c的值，再求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2，
∴2a﹣1＝9，3a﹣b﹣1＝8，
解得a＝5，b＝6，
∴6a+b＝36，
∵36的算术平方根为＝6，
∴6a+b的算术平方根是6；
（2）∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，
即c＝3，
由（1）得a＝5，b＝6，
∴2a+3b﹣c＝10+18﹣3＝25，
而25的平方根为＝±5，
∴2a+3b﹣c的平方根±5．
【点评】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
18．（8分）在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣2，2m﹣7），点N（n，3）．
（1）若M在x轴上，求M点的坐标；
（2）若MN∥y轴，且MN＝2，求n的值．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标等于0解答即可；
（2）根据MN∥y轴可知m﹣2＝n，再由MN＝2可知|2m﹣7﹣3|＝2，求出m的值，进而可得出n的值．
【解答】解：（1）∵M在x轴上，
∴2m﹣7＝0，
∴，
∴，
∴；
（2）∵MN∥y轴，
∴m﹣2＝n，
∵MN＝2，
∴|2m﹣7﹣3|＝2，
∴2m﹣10＝2或2m﹣10＝﹣2，
∴m＝6或4，
当m＝6时，n＝6﹣2＝4；
当m＝4时，n＝4﹣2＝2，
∴n＝4或2．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
19．（9分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数）
【分析】（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为（x+3）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）过E作EG⊥AB于点G，则四边形BDEG是矩形，得BG＝DE＝2米，EG＝BD，再由勾股定理得EG＝5（米），即可解决问题．
【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为（x+3）米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12，
答：旗杆AB的高度为12米；
（2）如图，过E作EG⊥AB于点G，
则四边形BDEG是矩形，
∴BG＝DE＝2米，EG＝BD，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10（米），
由（1）可知，AE＝AC＝12+3＝15（米），
在Rt△AGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝5（米），
∴BD＝5米，
∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣9）米≈2.2米，
答：小明需要后退约2.2米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）利用割补法求面积即可；
（3）连接AC′交x轴于点P，即可得PA+PC最小，结合AC为定值，得△PAC的周长最小．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求，
顶点A1，B1，C1的坐标分别为A1（0，﹣1），B1（2，0），C1（4，﹣4）；
（2）S△ABC＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5；
（3）如图2所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，联结这些小正方形的顶点，可得到一些线段．图1中联结小正方形的顶点构成了一个正方形ABCD．
（1）这个正方形ABCD的面积是多少？正方形的边长是多少？
（2）根据图2你能通过联结小正方形的顶点构成一个面积为10的正方形EFGH吗？如果能请画出正方形．
（3）如图3，已知数轴上点M表示的数是﹣1，利用（2）的结论，你能在数轴上找到点P，使得点P与点M的距离为吗？如果能请在数轴上画出P点的位置，且P所表示的数是 或 ．（使用直尺和圆规，作图不要求写作法，但是要求保留作图痕迹．）
【分析】（1）利用勾股定理求出正方形的边长，再根据变长求出正方形的面积即可；
（2）面积为10的正方形的边长为．，在图形中选择一个边长为1和3的长方形，该长方形的对角线长为，画出合适的正方形即可；
（3）先构造一个边长为1和3的长方形，该长方形的一个顶点与数轴上的M点重合，以M点为圆心，长方形的对角线长为半径画圆交数轴两点，即为所求点．
【解答】解：（1）∵正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝，
∴S正方形ABCD＝2．
（2）面积为10的正方形的边长为．
∵，
∴能通过联结小正方形的顶点构成一个面积为10的正方形EFGH，如图：
（3）∵，
∴画出三个边长为1的连续的小正方形，对角线的长度为，
再以M点为圆心，以对角线长为半径画圆交数轴于P1，P2两点，
∴，．
【点评】本题主要考查勾股定理、无理数、尺规作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
22．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b的图象过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
23．（12分）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（4）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b即可求解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，设点P（x，x+3），则PH＝|x+3|，根据S△ACP＝AC•PH＝18可得PH的值，即可求解．
（4）过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），根据PQ＝BC列方程求解即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得x＝3，
∴C点坐标为（3，0）；
（3）直线AB上存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18；理由如下：
过点P作PH⊥x轴于H，如图1，
设点P（x，x+3），
∴PH＝|x+3|，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC•PH＝×9•PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；
当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴直线AB上存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18；点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
（4）直线AB上存在点P，使PQ＝BC；理由如下：
如图2，
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝|x+3﹣（﹣x+3）|＝|x|，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x|＝3，
解得：x＝2或﹣2，
∴直线AB上存在点P，使PQ＝BC；点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．