天津市滨海新区五校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份天津市滨海新区五校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1B．x2﹣y＝0C．﹣2x﹣3y＝4D．x2﹣1＝0
2．（3分）用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0，正确的变形为（ ）
A．（x﹣5）2＝16B．（x﹣5）2＝﹣16
C．（x+5）2＝﹣16D．（x﹣10）2＝﹣16
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．（3分）方程x2+x＝5x+6的两个实数根的和与积分别是（ ）
A．﹣5，6B．﹣4，6C．4，﹣6D．﹣1，6
5．（3分）某超市进行促销活动，第一天营业额为8万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为10.08万，设每天增长率为x，则可列出的方程是（ ）
A．8（1+2x）＝10.08B．8（1+x）2＝10.08
C．8（1+2x）2＝10.08D．10.08（1﹣x）2＝8
6．（3分）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排28场比赛，则x为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣2B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x﹣2）2+3D．y＝3（x+2）2+3
8．（3分）把图形绕O点顺时针旋转90°度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
②抛物线与y轴的交点为（0，6）
③抛物线的对称轴是：x＝1
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．4B．3C．2D．1
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当△PCQ的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒B．4秒C．6秒D．1秒或4秒
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处）
13．（3分）时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是 ．
14．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
15．（3分）抛物线y＝x2+bx+c，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，则这条抛物线的对称轴为直线x＝ ．
16．（3分）若抛物线y＝x2+bx+10的顶点在x轴上，则b＝ ．
17．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
18．（3分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得PB﹣PC最大，则P点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分）
19．（8分）解方程：（用合适方法解一元二次方程）
（1）x2﹣2x＝2﹣x；
（2）x2﹣6x+8＝0．
20．（8分）如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．
（1）请写出旋转中心及旋转角的度数；
（2）若BP＝3，求∠BPQ的度数和QP的长．
21．（10分）如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x米和y米，且y＞x．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？
22．（10分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标；
（3）直接写出不等式ax2+bx+c+3＞0的x的取值范围．
23．（10分）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 元，可售出棉衣 件（用含x的代数式表示）．（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
24．（10分）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，直接填空：点A坐标为 ，点B坐标为 ．该抛物线的函数解析式为 ．
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
（3）当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．
2024-2025学年天津市滨海新区五校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1B．x2﹣y＝0C．﹣2x﹣3y＝4D．x2﹣1＝0
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键．
2．（3分）用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0，正确的变形为（ ）
A．（x﹣5）2＝16B．（x﹣5）2＝﹣16
C．（x+5）2＝﹣16D．（x﹣10）2＝﹣16
【分析】根据其配方法步骤解题即可．
【解答】解：原方程移项得：x2﹣10x＝﹣9，
方程两边同时加上25，
得x2﹣10x+25＝16．
∴（x﹣5）2＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是关键．
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2+4×1×3＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
4．（3分）方程x2+x＝5x+6的两个实数根的和与积分别是（ ）
A．﹣5，6B．﹣4，6C．4，﹣6D．﹣1，6
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【解答】解：方程x2+x＝5x+6整理得：x2﹣4x﹣6＝0
设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0的两根，
则x1+x2＝4，x1•x2＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
5．（3分）某超市进行促销活动，第一天营业额为8万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为10.08万，设每天增长率为x，则可列出的方程是（ ）
A．8（1+2x）＝10.08B．8（1+x）2＝10.08
C．8（1+2x）2＝10.08D．10.08（1﹣x）2＝8
【分析】设每天增长率为x，根据题意列出方程即可．
【解答】解：设每天增长率为x，
∵第一天营业额为8万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为10.08万，
∴8（1+x）2＝10.08，
故选：B．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
6．（3分）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排28场比赛，则x为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），
∴x的值为8．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣2B．y＝3（x+3）2+2
C．y＝3（x﹣2）2+3D．y＝3（x+2）2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的解析式为：y＝3（x+3）2+2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
8．（3分）把图形绕O点顺时针旋转90°度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据旋转的性质和定义，原图竖直的线段顺时针旋转后变为水平，小三角形在水平线的下方．
【解答】解：原图顺时针旋转90度后，竖直的线段成水平，排除B和C，三角形应该在水平线的下方，所以D答案正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，判断旋转后的图形，只要抓住关键点的旋转即可．
9．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可．
【解答】解：a＝1＞0，抛物线开口向上，
由解析式可知对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】先根据旋转的性质得到BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BED的度数．
【解答】解：∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，
∴BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BED＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
②抛物线与y轴的交点为（0，6）
③抛物线的对称轴是：x＝1
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象及其性质逐一判断可得．
【解答】解：①由表可知，当x＝﹣2时y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），此结论正确；
②由x＝0时y＝0知抛物线与y轴的交点为（0，6），此结论正确；
③由x＝0和x＝1时y＝6知抛物线的对称轴为x＝＝，此结论错误；
④由表可知当x＜时，y随x的增大而增大，此结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当△PCQ的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒B．4秒C．6秒D．1秒或4秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为t秒，则BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，根据△PCQ的面积等于4，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，
∴CP＝BC﹣BP＝5﹣t，
∴，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去），
即当△PCQ的面积等于4时，经过了1秒，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处）
13．（3分）时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是 60° ．
【分析】根据周角为360°，时钟转动时，时针12小时转一周，每小时对应的角度为30°，从而可以推出时针从上午8时到上午11时旋转的角度．
【解答】解：∵周角为360°，时针12小时转一周，
∴每小时对应的角度为：360°÷12＝30°．
∵时针从上午9时到上午11时走了2个小时，
∴时针旋转的角度是：30°×2＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查旋转的相关知识，钟面角，掌握时针转一圈是12小时，转过的角度是360°是关键．
14．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
15．（3分）抛物线y＝x2+bx+c，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，则这条抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ．
【分析】由A、B两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，
∴线段AB的中点坐标为（2，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用A、B关于对称轴对称是解题的关键．
16．（3分）若抛物线y＝x2+bx+10的顶点在x轴上，则b＝ ±2 ．
【分析】由顶点在x轴上，可知抛物线与x轴有一个交点，利用一元二次方程根的判别式可得到关于b的方程，可求得b的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+10的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴有一个交点，
∴方程x2+bx+10＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即b2﹣40＝0，解得b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的关系是解题的关键．
17．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【解答】解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
18．（3分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得PB﹣PC最大，则P点的坐标为 （0，） ．
【分析】点B和点C在y轴的同侧，连接BC交y轴于点P，易得点B的坐标，进而可得点C的坐标，求出直线BC的解析式，取x＝0，求得y的值即可求得点P的坐标．
【解答】解：连接BC并延长BC交y轴于点P，此时PB﹣PC最大．
∵二次函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），
∴点B的坐标为：（5，0），抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得：，
∴y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴点P的坐标为：（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查二次函数与x轴交点的相关知识．解决本题的关键是得到点P的位置．
三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分）
19．（8分）解方程：（用合适方法解一元二次方程）
（1）x2﹣2x＝2﹣x；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【分析】（1）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可；
【解答】解：（1）原式变形为：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2；
（2）原始分解成
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．
（1）请写出旋转中心及旋转角的度数；
（2）若BP＝3，求∠BPQ的度数和QP的长．
【分析】（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得BP＝BQ＝3，∠PBQ＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置，
∴旋转中心为点B，旋转角的度数为90°；
（2）∵△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置
∴△ABP≌△CBQ，
∴BP＝BQ＝3，∠PBQ＝90°，
∴∠BPQ＝45°，PQ＝BP＝3．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
21．（10分）如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x米和y米，且y＞x．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？
【分析】（1）根据矩形的周长公式建立等量关系，然后将y表示出来就可以了．
（2）根据矩形的面积公式建立方程x（30﹣2x）＝100，再解答这个方程求出符合题意的x的值，根据第（1）问的结论即可得出y的值．
【解答】解：（1）由题意得：2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x；
（2）∵xy＝100，
∴x（30﹣2x）＝100，即x2﹣15x+50＝0，
∴x1＝5，x2＝10，
∵y＞x，即30﹣2x＞x，
∴x＜10，
∴x＝5，30﹣2x＝20，
答：矩形两边长为5米和20米．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的运用，一元二次方程的运用，找出等量关系是解答本题的关键．
22．（10分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标；
（3）直接写出不等式ax2+bx+c+3＞0的x的取值范围．
【分析】（1）根据题意将（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣4），（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，求出a、b、c；
（2）令y＝0时，把函数问题转化为一元二次方程，解出即可；
（3）把函数问题转化为方程的问题，求出方程的两个跟，再根据二次函数与不等式的关系，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）依题意有：将（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣4），（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0时，则有：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴该函数图象与x轴两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（1，0）；
（3）∵x2+2x﹣3+3＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
∴不等式ax2+bx+c+3＞0的解集是：x＞0或x＜﹣2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．
23．（10分）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 （50﹣x） 元，可售出棉衣 （50+2x） 件（用含x的代数式表示）．（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据题意，根据题意所给关系，可得每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利（50﹣x）元，可售出棉衣：（50+2x）件；
（2）依据题意，利润＝（50﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+50x+2500＝﹣2（x﹣）2+2812.5，从而要使销售该棉衣的总利润达到2800元，可得2800＝﹣2（x﹣）2+2812.5，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由利润＝﹣2（x﹣）2+2812.5，再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【解答】解：（1）由题意，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利（50﹣x）元，可售出棉衣：（50+2x）件．
故答案为：（50﹣x）；（50+2x）．
（2）由题意，利润＝（50﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+50x+2500＝﹣2（x﹣）2+2812.5．
要使销售该棉衣的总利润达到2800元，
∴2800＝﹣2（x﹣）2+2812.5．
∴x﹣＝±．
∴x＝15或x＝10．
（3）由题意，∵利润＝﹣2（x﹣）2+2812.5，
∴当x＝12.5时，利润最大为2812.5元．
答：当每件棉衣降价12.5元时，获利最大，最大利润是，2812.5元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24．（10分）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，直接填空：点A坐标为 （﹣2，﹣2） ，点B坐标为 （2，﹣2） ．该抛物线的函数解析式为 y＝﹣x2 ．
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
（3）当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【分析】（1）根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为y＝ax2，然后将（﹣2，﹣2）代入，即可得到抛物线的解析式；
（2）将y＝﹣3代入求出对应的x的值，然后即可得到CD的长，然后减去AB的长，即可得到水面宽度增加多少米；
（3）仿照（2）的解法，可以得到水面宽度减少多少米．
【解答】解：（1）∵拱顶高水面2米时，水面宽4米，
∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点B的坐标为（2，﹣2），
设该抛物线的函数解析式为y＝ax2，把点A的坐标代入得：
﹣2＝a×（﹣2）2，
解得a＝﹣，
即该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2，
故答案为：（﹣2，﹣2）；（2，﹣2）；y＝﹣x2；
（2）将y＝﹣3代入y＝﹣x2，
得﹣3＝﹣x2，
解得x＝±，
∴CD＝﹣（﹣）＝2，
∵AB＝4，
∴CD﹣AB＝2﹣4，
即水面宽度增加（2﹣4）米；
（3）将y＝﹣1代入y＝﹣x2，
得﹣1＝﹣x2，
解得x＝±，
此时水面的宽为：﹣（﹣）＝2，
∴当水面AB上升1米时，水面宽度减少（4﹣2）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），PD＝﹣x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），进而可得出MN＝|﹣m2+2m|，结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），
∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．
又∵MN＝3，
∴|﹣m2+2m|＝3．
当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，
解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
⋯
﹣2
﹣1
0
2
⋯
y
⋯
﹣3
﹣4
﹣3
5
⋯
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
⋯
﹣2
﹣1
0
2
⋯
y
⋯
﹣3
﹣4
﹣3
5
⋯