函数概念与性质专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份函数概念与性质专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数满足对且，都有 ，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．下列说法不正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域是
B．函数的定义域是
C．函数，是奇函数
D．若集合中只有一个元素，则
8．对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
9．已知函数的定义域为，恒有，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．已知，则
C．已知，，则“”是“”的充要条件
D．函数的值域是
三、解答题
11．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明；
(3)若对任意的，都有，求的取值范围.
12．已知函数，．
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
13．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
14．已知函数
(1)用定义法证明函数在区间上是增函数；
(2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围.
15．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，若存在，使得，求的取值范围；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若对于恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的性质，结合复合函数的单调性即可求解.
【详解】由，解得或，
所以函数的定义域为，
设，则，
函数的对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，且，
函数在上单调递增，
所以函数fx在上单调递增，
函数在区间上单调递减，且，
函数在上单调递增，
所以函数fx在上单调递减，
所以函数fx的单调递增区间为，
故选：C
2．D
【分析】通过举反例说明“为奇函数”是“”的既不充分也不必要条件.
【详解】由“为奇函数”不能得到“”，如，为奇函数，但在时没有意义.
由“”不能得到“为奇函数”，如，，但为偶函数.
故“为奇函数”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．B
【分析】根据函数的解析式求解函数在上的单调区间，再结合题给的区间求解参数的范围，最后得出答案.
【详解】根据题意，.设，且，
，
.
时，，此时，在上单调递增；
时，，此时，在上单调递减.
根据题意，函数在区间上单调递增，所以，
解得，.
故选：B.
4．D
【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围.
【详解】函数中，，解得或，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是，
依题意，，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
5．C
【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.
【详解】因为为偶函数，故即，
而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数，
而即为，
故，故或，
故选：C.
6．D
【分析】根据条件得到分段函数在R上单调递增，需满足每一段上单调递增，且分段处左端点值小于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】由对且，都有 可得，在R上单调递增，
其中时，，
故需满足，解得或.
故选：D
7．ACD
【分析】对于A，根据抽象函数定义域的求解法则，求出定义域，即可判断；
对于B，要使得分式，根式都有意义，可列出不等式组，解出不等式组，即可判断；
对于C，由奇函数需满足定义域关于原点对称，即可判断；
对于D，易得当时，方程有唯一解.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，即，
所以对于，，解得，所以的定义域是，故A不正确；
对于B，由解得，且，所以定义域为，故B正确；
对于C，因为定义域关于原点对称不成立，所以不是奇函数，故C不正确；
对于D，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解，故D不正确.
故选：ACD.
8．BCD
【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得的图象关于点对称，利用偶函数得的图象关于直线对称，从而有，，，，两者结合可得，这样可计算选项C中的和，再由对称性可判断单调性．
【详解】若是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象，
因此的图象关于点对称，所以，，
是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象，
因此的图象关于直线对称，从而，，B正确；
所以，即，
，所以，A错；
，C正确；
在上递减，它关于直线对称，则在上递增，
又它的图象关于点对称，则在上递增，
再由它关于直线对称得它在上递减，D正确，
故选：BCD．
9．ACD
【分析】A选项，令，求出；B选项，令，得，令，得，B错误；C选项，令得，，C正确；D选项，不妨设，推出，根据时，得到，得到函数单调递减，D正确.
【详解】A选项，令，得，故A正确；
B选项，令，得，
令，得，故B错误；
C选项，令得，，
即，故C正确；
D选项，不妨设
，
由于，所以，所以，
所以为上的减函数，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
【分析】A：通过修改量词，否定结论，然后判断；B：先化负为正，然后利用基本不等式计算并判断；C：取特殊值判断；D：先化简，然后根据对勾函数的单调性分析求解出的值域.
【详解】对于A：通过修改量词，否定结论，可得否定是“，”，故错误；
对于B：因为，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，故正确；
对于C：当时，取，此时，
所以不能推出，所以“”不是“”的充要条件，故错误；
对于D：因为，所以，
令，根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以的值域为，故正确；
故选：BD.
11．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用配凑法直接求解即可；
（2）任取，由可得结论；
（3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果.
【详解】（1），.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，
，
，，，，
在上单调递增.
（3）由（2）知：在上单调递增，，
，解得：，的取值范围为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）变形为，，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出答案；
（2）在上的值域包含在上的值域，其中，分和，得到在上的值域，根据包含关系得到不等式，得到答案.
【详解】（1），，
需满足，解得，
故的取值范围为.
（2）对任意，存在，使得，
故在上的值域包含在上的值域，
其中时，，
的对称轴为，
若，则在上单调递增，
故，
但不会是的子集，舍去；
当时，则在上单调递减，
故，
是的子集，则，解得，
综上，的取值范围是.
13．(1)，
(2)或或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，画出函数图象即可；
【详解】（1）因为
所以，，
．
（2）当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
（3）函数的图象，如图所示：

14．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.
【详解】（1）任取，且，
则，
又，，则，所以，
得到，即，所以函数在区间上是增函数.
（2）因为函数的定义域为，且在区间上是增函数，
由，得到，解得或，
所以实数的取值范围为或.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值.
（2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围.
（3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R，进而求出a最终的取值范围.
【详解】（1）不等式的解集为，
所以的解集为，
由，可得，求得，
又因为解集为，
故有，
故．
（2）当时，，
若存在，使得，
即存在，使得，
令，
故的最小值，
又，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为18，
故，
故使有解的实数的范围为.
（3）若恒成立，
则恒成立，
则或恒成立，
即或恒成立.
①当时，解得或，
不等式解集不为（舍），
②当时，解得或，
不等式解集不为（舍），
③当时，
解得或，
若不等式解集为，
则，
所以，解得，
④当时，解得或，解集不为（舍），
⑤当时，解得或，解集不为（舍），
综上所述，的取值范围是.
16．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可；
（2）利用特殊值判断，定义证明；
（3）利用函数的奇偶性判断在单调递增，再利用单调性解不等式即可.
【详解】（1）当时，，，
又因为为奇函数，则，则.
（2），，，函数在单调递增，
证明如下：
设任意的，且，
，
因为，且，，，
则，即，所以函数在单调递增.
（3）由（2）可得函数在单调递增，又因为是奇函数，
则在单调递增，由对恒成立，
等价于对恒成立，
则，即对恒成立，
令，
任取，，
由，，，，即，
所以当时，单调递减，则当时，，
则，所以的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
D
C
D
ACD
BCD
ACD
BD