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    双曲线及其性质专题练-2025届高三数学一轮复习

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    这是一份双曲线及其性质专题练-2025届高三数学一轮复习,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知双曲线中心在原点,一顶点坐标为,且渐近线方程为,则其标准方程为( )
    A.B.
    C.D.
    2.“”是“方程表示双曲线”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    3.双曲线的离心率是2,左右焦点分别为为双曲线左支上一点,则的最大值是( )
    A.B.2C.3D.4
    4.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
    A.B.C.2D.
    5.已知双曲线C:的上、下焦点分别为,,P是C上支上的一点(不在y轴上),与x轴交于点A,的内切圆在边上的切点为B,若,则C的离心率的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    6.已知双曲线的左、右焦点分别为,为双曲线右支上的一点,若在以为直径的圆上,且,则该双曲线离心率的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    7.已知双曲线,的左,右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为( )
    A.B.C.2D.
    8.已知动圆与圆及圆都外切,那么动圆圆心轨迹方程是( )
    A.B.
    C.D.
    二、多选题
    9.已知双曲线的左、右焦点分别为,抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合,点P是这两条曲线的一个公共点,则下列说法正确的是( )
    A.B.的周长为16
    C.的面积为D.
    10.已知,分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线上第一象限内一点,且,,关于的平分线的对称点恰好在上,则( )
    A.的实轴长为2
    B.的离心率为
    C.的面积为
    D.的平分线所在直线的方程为
    11.如图,是椭圆与双曲线在第一象限的交点,且共焦点的离心率分别为,则下列结论正确的是( )
    A.
    B.若,则
    C.若,则的最小值为2
    D.
    三、填空题
    12.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,点A在双曲线C的右支上,若,则的最小值为 .
    13.在平面直角坐标系中,已知双曲线的左、右顶点为、,若该双曲线上存在点,使得直线、的斜率之和为,则该双曲线离心率的取值范围为 .
    14.已知椭圆的方程为,其左、右顶点分别为,一条垂直于轴的直线交椭圆于两点,直线与直线相交于点,则点的轨迹方程为 .
    四、解答题
    15.已知双曲线的实轴长为,点在双曲线上.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为,求.
    16.已知双曲线的中心为坐标原点,点在双曲线上,且其两条渐近线相互垂直.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若过点的直线与双曲线交于,两点,的面积为,求直线的方程.
    17.已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
    (1)求C的方程;
    (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:
    ①M在上;②;③.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    参考答案:
    1.A
    双曲线顶点在轴上,可设其方程为,
    顶点坐标为,渐近线方程为,即,
    ,解得:,双曲线方程为:.
    2.A
    因为方程表示双曲线,故,
    故,
    而为的真子集,
    故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件,
    3.C
    由焦半径公式得,,则当时,.
    4.A
    设,因为为等边三角形,则,,
    又,
    所以双曲线的离心率.

    5.A
    设该内切圆在上的切点分别为D,E,则有,,,
    又,,则,即,解得,
    由,即,得,所以.
    6.D
    在以为直径的圆上,,
    ,,,,
    由双曲线定义知:,即,

    ,,,
    则,,
    即双曲线离心率的取值范围为.
    7.B
    根据双曲线的定义可得,
    因为,所以,,
    因为点在双曲线的右支上,所以,即,
    所以,所以离心率,
    所以双曲线的离心率的最大值为,
    8.B
    圆:,圆心,半径 ,
    圆:,圆心,半径 ,
    设动圆圆心,半径为,由动圆与圆,都外切,
    得,则,
    因此圆心的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线左支,
    即,半焦距,虚半轴长,
    所以动圆圆心的轨迹方程是.
    9.AB
    由已知,双曲线右焦点,即,故A项正确.且抛物线方程为.
    对于B项,联立双曲线与抛物线的方程,
    整理可得.,解得或(舍去负值),
    所以,代入可得,.
    设,又,所以,,,则的周长为16,故B项正确;
    对于C项,易知,故C项错误;
    对于D项,由余弦定理可得,,故D项错误.

    10.ACD
    由题意,
    在中,
    ∵关于的平分线的对称点恰好在上,
    ∴,,三点共线,且,
    ∵,∴.
    设,,
    根据双曲线定义可得,,
    解得,,即,∴.
    在中,根据勾股定理可得,,解得,
    ∴的实轴长为2,所以A正确;
    又,,∴的离心率为,所以B不正确;
    的面积为,∴C正确;
    ∵,∴,
    ∵,易得的平分线的倾斜角为,
    ∴的平分线所在直线的方程为,即,所以D正确.
    11.ABD
    对于A,椭圆,双曲线,
    由椭圆、双曲线的定义可知,,解得,故A正确;
    对于B,令,
    由余弦定理得,
    当时,,即,因此,故B正确;
    当时,,即,有,
    而,则有,解得,故C错误;

    ,解得,
    而,因此,故D正确.
    12./
    依题意,,即.
    所以,解得,
    所以,,
    因为点A在双曲线C的右支上,
    所以,即,
    所以.
    当且仅当点在线段上时等号成立.
    故答案为:.
    13.
    设点,其中,易知点、,且有,则,

    当点在第一象限时,,,则,,且,
    由基本不等式可得,
    因为存在点,使得直线、的斜率之和为,则,即,
    .
    故答案为:.
    14.
    由题意知,
    设直线为,,
    由三点共线及B,F,M三点共线,
    得,
    两式相乘化简,得,
    又,
    所以,即,
    又,即,
    所以点的轨迹方程为.
    故答案为:
    15.(1)
    (2)
    (1)因为双曲线的实轴长为,所以,解得:;
    又因为点在双曲线上,所以,解得:,
    所以双曲线的标准方程为:
    (2)设,Qx2,y2
    由题可得过点且斜率为的直线方程为:,即,
    联立,消去可得:,
    所以,,
    所以
    16.(1)
    (2)或.
    (1)因为双曲线的两条渐近线互相垂直,
    所以双曲线为等轴双曲线,
    所以设所求双曲线方程为,,
    又双曲线经过点,
    所以,即,
    所以双曲线的方程为,即.
    (2)根据题意可知直线的斜率存在,又直线过点,
    所以直线的方程为,
    所以原点到直线的距离,
    联立,得,
    所以且,
    所以,且,
    所以,
    所以的面积为,
    所以,解得,所以,
    所以直线的方程为或.
    17.(1)
    (2)见解析
    (1)右焦点为,∴,∵渐近线方程为,∴,∴,∴,∴,∴.
    ∴C的方程为:;
    (2)由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,
    若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线的斜率存在且不为零;
    若选①③推②,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,与从而,已知不符;
    总之,直线的斜率存在且不为零.
    设直线的斜率为,直线方程为,
    则条件①在上,等价于;
    两渐近线的方程合并为,
    联立消去y并化简整理得:
    设,线段中点为,则,
    设,
    则条件③等价于,
    移项并利用平方差公式整理得:

    ,即,
    即;
    由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
    ∴由,
    ∴,
    所以直线的斜率,
    直线,即,
    代入双曲线的方程,即中,
    得:,
    解得的横坐标:,
    同理:,

    ∴,
    ∴条件②等价于,
    综上所述:
    条件①在上,等价于;
    条件②等价于;
    条件③等价于;
    选①②推③:
    由①②解得:,∴③成立;
    选①③推②:
    由①③解得:,,
    ∴,∴②成立;
    选②③推①:
    由②③解得:,,∴,
    ∴,∴①成立.

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