圆锥曲线常考题型-2025届高三数学一轮复习专练

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例1.已知，为平面内的两点，，是的中点，点在该平面内运动，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：以所在的直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系．
，，设，点在该平面内运动，且满足，
可得，化简可得，
轨迹为以，为圆心，为半径的圆．的最大值：．
例2.已知，，，点在直线上，若恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解答】解：设，由在上，得，即，
由得：，化为，
依题意，线段与圆至多有一个公共点，，
解得：，则的取值范围为，.
例3.已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解答】解：根据题意设，，对应的点在单位圆上，
，所以，
表示点到点和的距离之和，
过点和的直线为，原点到直线的距离为，所以与单位圆相交，所以的最小值为点和之间的距离，即．
巩固练习：
1.平面直角坐标系中，已知点，圆．若圆上存在点，使，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解答】解：设点，，且，
，化简得，即，
点在以为圆心，2为半径的圆上．
点既在圆上又在圆上，即圆和圆有公共点．
因此．即，解得，
所求实数的取值范围是，．故答案为：，．
2.已知，是平面上两个定点，平面上的动点，满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：，以为轴，以的中垂线为轴建立平面坐标系，
设，，，则，，，；
．的轨迹是圆心为，，半径为的圆．
同理的轨迹也在这个圆上．所以．，即恒成立，设，则在，上单调递减，的最大值为（3）．．故答案为：．
隐含“圆”
例1.已知、是单位向量，．若向量满足，则的最大值是 ．
【答案】
【解答】解：、是单位向量，．若向量满足，
设，，，
则，，，
故向量的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，
的最大值为，故答案为：
例2.在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点的坐标为，则的取值范围为 ．
【答案】，
【解答】解：设，则有，，所以为的中点，，
过作，垂足为，因为，所以，，
，，
所以点的轨迹方程为：，所以，
所以的取值范围为：，，故答案为：，．
例3.已知，且满足，则的取值范围为 ．
【答案】
巩固练习：
1.已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解答】解：圆的圆心，半径为1，
圆心到的距离为2，圆上的点到点的距离的最大值为3，最小值为1，
再由，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有，
实数的取值范围是，．故答案为：，．
2.已知圆，圆，定点，动点，分别在圆和圆上，满足，则线段的取值范围是 ．
【答案】，
【解答】解：设，、，，则．
，，，．，，即，即，．设中点为，，则，，，
，即，
点，的轨迹是以，为圆心、半径等于的圆，的取值范围是，，故，故的范围为，，故答案为：，．
3．若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，已知点，则线段长度的最大值是 ．
【答案】
【解答】解：，，成等差数列，，即，可得方程
恒过，又点在动直线上的射影为，，
在以为直径的圆上，此圆的圆心坐标为，，即，半径
，又，，
则．故答案为：
利用定义求轨迹方程
例1．已知动点满足，则点的轨迹是
A．双曲线B．抛物线C．两条相交直线D．椭圆
【答案】
【解答】解：令，则其几何意义为点到的距离，
令，其几何意义为点到直线的距离，
依题意二者相等，即点到点的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出的轨迹为
抛物线．故选：．
例2．已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解答】解：由的垂直平分线交直线于点，得，圆的半径为2．
所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线．
所以由题意得，．所以，，．焦点在轴上，故所求
方程为．故答案为．
例3.已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与这两个
圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解答】解：圆的圆心为，半径为5；而圆的圆心为，半径为1．设动圆与圆和都相外切，动圆半径为，则
，，可得，点在以、为左、右焦
点，的双曲线右支上且，可得双曲线方程为，
因此，动圆圆心的轨迹方程为：故答案为：
巩固练习：
1．如图，在正方体中，当动点在侧面内运动时，总有
，则动点在平面内的轨迹是
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】
【解答】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，1，，，0，，，0，，1，，
，1，，，0，，，1，，
，，，
整理，得，，点的轨迹是双曲线的一部分．故选：．
2．已知两点、，设圆与轴交于、两点，且动点满足：以线段为直径的圆与圆相内切，如图所示，记动点的轨迹为，则轨迹的方程是 ．
【答案】
利用定义求值
例1．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的
上半部分于、、、、、、七个点，是椭圆的一个焦点，则
．
【答案】35
【解答】解：将椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆
的上半部分于、、、、、、七个点，是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的对称性，得同理可得：
且，又
，故答案为：35
例2．关于的实系数一元二次方程的两个虚根、，若、在复平面
上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．
【答案】4
【解答】解：因为为实数，，，为虚数，所以，即，
解得．由，为共轭复数，知，关于轴对称，所以椭圆短轴在轴上，
又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点，根据椭圆的性质，复数加，减法几何意
义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长，焦距
，长轴长，
故答案为：4．
巩固练习：
1.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则 ．
【答案】2
【解答】解：抛物线，焦点为，，准线为，
是抛物线上一点，则，由题意可得，，
由于为等边三角形，则有，即有：，可得．
故答案为：2．
利用定义求最值和范围
例1.已知点及抛物线上一动点，，则的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：用抛物线的定义：焦点，准线，设到准线的距离为
（当且仅当、、共线时取等号）
故的最小值是2．故答案为：2．
例2．若、，是椭圆上的动点，则的最小值
为 ．
【答案】1
【解答】解：由题设条件知焦点在轴上，故椭圆方程椭圆
由，易知，两点是椭圆的焦点，
所以，，从而，
当且仅当取等号，即点的坐标为时上式取等号，
，则的最小值为 1．
故答案为：1．
巩固练习：
1.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，与抛物线的焦点重合，且半径，，，，
三角形的周长，，
三角形的周长的取值范围是．故答案为：．
圆锥曲线的最值和范围：
方程思想
例1．已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，，，的直线与椭圆公共点的个数是
A．2B．1C．0D．不确定
【答案】
【解答】，是关于的方程的两个实数根，，
故直线恒为点，又由点恒在椭圆内部，故直线与椭圆公共点的个数是2个，故选：
例2．已知椭圆的左右焦点为，，直线过点且垂直于椭圆的长轴，
动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若
，，，，是上不同的点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：椭圆的左右焦点为，，，，直线，
设，设，，，则，且由，
，曲线．，，，，是上不
同的点，，，，
，
，，，
，，，整理，得，关于的方程有不为2的解，，且，，
且，解得，或．
巩固练习：
1.过直线上任一点向圆作两条切线，切点分别为，，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为 ．
【答案】
【解答】解：设点，，则直线的方程为
（注：由圆外一点，向该圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程是，注意到直线，即，
直线与的交点为．又，因此点的轨迹是以为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心坐标是，半径是．
又线段的中点到直线的距离等于，
因此点到直线的距离的取值范围是．
故答案为：．
2．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为、，过、的直线与轴和轴分别交于、，则面积的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：设，则，
，
以为圆心，以为半径的圆的方程为：，①又已知圆的方程为，②
①②可得直线的方程为，，，，
面积为，当时，取得最小值．
函数思想
例1.若实数，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：由，可得其参数方程为为参数），
，
令，则，，
，．故答案为：．
例2．在平面直角坐标系中，设定点，，是函数图象上一动点，若点，之间的最短距离为，则满足条件的正实数的值为 ．
【答案】
【解答】解：设点，，则
，令，由，可得，
令，①当时，时取得最小值（2）
，解得，3，
均舍去；②当时，在区间，上单调递减，在单调递增，
可得，取得最小值（a），可得，解得（负舍去）．
综上可知：．故答案为：．
例3.已知点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则线段长度的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：由圆的圆心为，半径为1，可考虑圆心到椭圆上的点的距离的最大值，
设椭圆的点为，，
则，
当时，取得最大值，则的最大值为．
故答案为：．
巩固练习：
1.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任一点，则的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：椭圆的，，，设，，可得，由，可得
，，，
由，，可得时，取得最小值，故答案为：6．
2．已知圆以为直径，半径为2，点，都在线段上，，，过
点作互相垂直的弦和，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解答】解：圆以为直径，半径为2，点，都在线段上，，，
过点作互相垂直的弦和，则：①当和直径重合时，和直径垂直时，
的值取最大值，即：，，故：．
②当和关于直径对称时，取最小值．
如图所示：
是的中点，且，，则：，
由于：，所以：，故：．故答案为：，
基本不等式
1.已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点，则的最小值为 ．
【解答】当直线的斜率不存在时，直线为，由，可得，，
，；
当直线的斜率存在时，设过点作直线的方程为，
不妨设，，，，由，消可得，
，，，，
．
．（当且仅当时等号成立）．故答案为：．
2.若椭圆内有圆，该圆的切线与椭圆交于两点，
且满足（其中为坐标原点），则的最小值是 ．
【答案】49
【解答】设圆的切线方程为，、
代入椭圆方程得到关于的一元二次方程：
由韦达定理，得
因为，所以
所以
所以 ①
因为是圆的切线，所以，即
代入①式，得，所以
数形结合思想
直线和圆
例1.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：圆的圆心为，半径等于2，圆心到直线的距离，
要使圆上有且只有四个点到直线的距离为1，应有，
即，故答案为．
例2.已知圆，直线，动点为上一点，圆存在一点，使得，则点横坐标的取值范围是 ．
【答案】，
【解答】解：如图，
，，当为圆的切线时，最大，
故问题转化为在直线上找到一点，使它到点的距离为2．
设，，则，解得或2．
满足条件的点横坐标的取值范围是，．故答案为：，．
例3.在平面直角坐标系中，已知圆．过原点的动直线与圆交于，两点．若以线段为直径的圆，与以为圆心，为半径的圆始终无公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】，，
【解答】解：圆的圆心坐标，半径为2，
则，要使以线段为直径的圆，与以为圆心，为半径的圆始终无公共点，
则，整理得：，解得：或．
巩固练习：
1.已知直线和，若直线上存在点，上存在，两点，使得，则的取值范围为 ．
【答案】
【解答】解：如图，
要使上存在，两点，使得，则，
当时，，则．由到直线的距离，解得．故答案为：．
2.已知集合，，
．记集合，则集合所表示的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解答】解：集合，，，
圆的圆心，半径为2，圆的圆心的轨迹方程为：，
集合的图形是图形中，两个圆：；和：之间的圆环部分，圆心到直线的距离为：，
所以，就是．
3.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点，
且交圆于，两点，若面积的最大值为20，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【解答】解：圆，圆心，半径，
，当时取最大值20，
此时为等腰直角三角形，，则到距离，，
即，，即，
或，
几何意义（包含线性规划）
例1．已知圆，为圆上任意一点．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【解答】解：（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设为，则过点的圆的切线方程为，
即，由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得
，故的最大值为，最小值为．
（2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线，
故当此直线和圆相切时，取得最值．
由圆心到直线的距离为半径1，可得，求得，
或，故的最大值为，的最小值为．
（3）与的距离为，
的最大值为，最小值为．
例2．设、满足约束条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【解答】
的几何意义为可行域内的动点与定点的距离．
由图可知的最小值为到直线的距离的平方，等于；最大值为与两点间的距离的平方，等于17．
的取值范围是．故答案为：．
例3．在平面直角坐标系中，，是圆上两个动点，且．若，两点到直线的距离分别为，，则的最大值为 ．
【答案】6
【解答】解：不妨设，，，，，则．
，在直线的同侧，
，当时，取得最大值6．故答案为：6．
例4．若函数的最大值为，则．
【答案】
巩固练习：
1．已知是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ．
【答案】5
【解答】解：是椭圆上的一个动点，
设，，，
最大值为5故答案为：5．
2．函数的最小值为________,达到最小值时，的值分别为 ．
【答案】
3．函数的最小值为，则对一切，的最大值为 ．
【答案】
4．已知，，则的最值是 ．
【答案】
提示：条件式很明显可以知道几何意义为一个半圆，所以把目标式也考虑成几何意义，容易得到，分子视为点到直线距离，分母视为点到原点距离，利用几何意义解决
是否存在三角形
例1.如图：平面上两点，在直线上取两点，使
P(0，1)
Q(3，6)
M
N
y = x
x
y
且使的值取最小，则的坐标为_________．
【答案】
例2.是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：由题可知，，，，即，
椭圆右焦点的坐标为，由椭圆的定义可知，，
所以，由图形知，当在直线上时，
，当不在直线上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，；
当在的延长线上时，取得最小值，
的最小值为．故答案为：6．
例3.点在椭圆上运动，、分别在两圆和上运动，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】6 ，2
例4.点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，，则的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，由，
则中由正弦定理可知：则，
，则，设的倾斜角为，则，
当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，
设直线的方程为，联立，得，
由△，解得，即，则，
则的最大值为，故答案为：．
巩固练习：
1. 椭圆的右焦点为，点是椭圆上一动点，点是圆上一动点，求的最大值及此时点的坐标．
【答案】
【解答】利用椭圆定义进行转化
此时，
2.已知圆，圆，直线、分别过圆心、，且与圆相交于、两点，与圆相交于、两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】8
【解答】设，其中，，，
，
同理，，
∴
，∵点在椭圆上，
∴，即，∴.
曲线的图像
例1．由曲线所围成的图形面积为 ．
【答案】
【解答】解：当，时，曲线互为，
曲线表示以为圆心，以为半径的圆，在第一象限的部分；
所求曲线所围成的图形面积为：．
故答案为：．
例2．在约束条件下，目标函数的最大值为 ．
【答案】9
【解答】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）
平移直线由图象可知当直线经过点时，直线在轴的截距最大，
此时也最大，代入目标函数，即目标函数的最大值为9；故答案为：9．
例3.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】解：由得，
曲线表示以为圆心，以1为半径的上半圆，显然直线与曲线有两个交点，交点为半圆的两个端点，直线，即与半圆有2个除端点外的交点，
当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，，解得或（舍去），所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：．
巩固练习：
1.已知，若曲线与曲线无交点，则 ．
【答案】
【解答】解：曲线，令，，
代入曲线，曲线与曲线无交点，可得，不成立．
即不成立，，，可得．故答案为：．
2.如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：
①函数在上单调递减；②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；
③函数的值域为，；④函数有且只有一个零点．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【解答】解：当时，方程化为，当时，方程化为．作出函数的图象如图：
由图可知，函数在上不是单调函数，故①错误；
的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确；
函数的值域为，，故③错误；
双曲线的渐近线方程为，故函数与的图象只有1个交点，
即函数有且只有一个零点，故④正确．故答案为：②④．
3.已知曲线：，下列叙述中错误的是（ ）．
A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点
B．直线（）与曲线最多有三个交点
C．曲线关于直线对称
D．若，为曲线上任意两点，则有
【答案】C
4.在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．
在这个定义下，给出下列命题：
① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
② 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③ 到两点的“折线距离”之和为的4点的集合是面积为6的六边形；
④ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①③④
一题多解：
1.已知实数满足，求得最大值为 ．
【答案】4
【解答】三种方法：= 1 \* GB3①数形结合= 2 \* GB3②参数方程= 3 \* GB3③直接消参构造函数
2.若实数、满足，则的取值范围是 ．
【解答】设，，即已知，
，，求的取值范围，∴，即为直线截距的范围，数形结合，.
法二：设，，，
3.椭圆的长轴右顶点、短轴上顶点分别为，，点是椭圆上第一象限内的点，为坐标原点，当四边形面积最大时，点的坐标是 ．
【答案】
【解答】解：由题意，可设点坐标为，，且，．
根据题意及图，可得
，
点在椭圆上，，，
．
当且仅当，即时，等号成立．此时．
当四边形面积最大时，点的坐标是，．故答案为：，．