幂函数、指数函数和对数函数专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份幂函数、指数函数和对数函数专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
3．图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．丙同学和甲同学B．乙同学和甲同学
C．甲同学和丙同学D．乙同学和丙同学
5．若函数满足对任意不相等的两个实数，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．不等式的解集为
C．已知正数，满足，则的最小值为9
D．
三、填空题
9．已知实数满足且，则 .
10．函数且 过定点，则________
11．设函数，则 ，不等式的解集为 ．
12．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值为 .
四、解答题
13．计算下列各式的值：
(1)；
(2)
14．求值：
(1)；
(2).
15．已知幂函数在上单调递增.
(1)求解析式；
(2)若在上的最小值为，求m的值.
16．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且．
(1)求函数和的解析式；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由复数函数单调性知函数在区间上也是单调递增，结合对称轴可得，解之即可．
【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上也是单调递增，
因为二次函数的对称轴为，
所以有，即.
故选：B.
2．B
【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域
【详解】当时，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又
所以；
当时，，
所以，的值域为.
故选：B.
3．A
【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案.
【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大，
且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减，
所以，故A满足.
故选：A
4．C
【分析】根据对数运算公式，以及幂的运算公式，即可比较大小.
【详解】，
，，所以，
，所以，
所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.
故选：C
5．B
【分析】结合题设易得函数在上单调递增，进而由分段函数单调性的性，结合指数函数与一次函数单调性求解即可.
【详解】因为对任意不相等的两个实数，都有，
所以函数在上单调递增，
则，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：B.
6．A
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可.
【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.
再取特殊值，且为正数.排除D.
当时，，越大函数值越接近1，排除C.
故选：A.
7．AD
【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误.
【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确；
对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B错误；
对于C，函数在上单调递增，函数在R上单调递增，
所以函数在上单调递增，故C错误；
对于D，函数在上单调递减，函数在0,+∞上单调递增，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：AD.
8．BC
【分析】解对数方程判断A，换元解不等式判断B，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断C，取特殊值判断D.
【详解】选项A：，
且（真数大于0），故A错误；
选项B：设，则由可得
解得，又，，解得，
不等式解集为，故B正确；
选项C：因为正数，满足，所以
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
选项D：取，则，故D错误．
故选：BC
9．
【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.
【详解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案为：
10．-2
【分析】根据指数函数的性质求解.
【详解】当时，即函数恒过，
此时
故答案为：
11． 2
【分析】先分别求出的函数值，然后得到规律,换元计算即可.
【详解】由题可知，，
所以，
，
显然，
所以有，
得，
显然，
所以得，
即，
解得.
故答案为：2；
12．4
【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值.
【详解】∵过原点，∴，
∴①，
∵当与时，，，，
由题意，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，则.
故答案为：.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂运算公式计算；
（2）根据对数运算公式和换底公式计算.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
14．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用对数换底公式及对数性质计算得解.
（2）利用指数运算及指数与对数互化关系计算即得.
【详解】（1）
.
（2）.
15．(1)
(2)或3
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可；
（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.
【详解】（1）由题意得，，解得，
则.
（2）由，对称轴为，
当时，，则，即；
当时，，
则，即（舍去）或（舍去）；
当时，，则，即.
综上所述，或3.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解；
（2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解.
【详解】（1）由题，，
则有，
又因为偶函数和奇函数，所以，
所以联立，
解得.
（2）因为，
由，
可得，
即，
令，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
又因为，所以，
所以，即恒成立，其中，
令，，
则函数在时恒成立，
当，即时，在单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，
函数在对称轴处取得最小值，则，
则，即，
解得，又因为，所以，
综上，，
所以的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
B
A
C
B
A
AD
BC