平面向量专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份平面向量专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（河北省沧州市三校联考2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（陕西省榆林市2024-2025学年高三上学期第一次模拟检测数学试题）在等腰梯形中，为线段上的动点，则的值不可能为（ ）
A．15B．12C．9D．6
4．（广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷）已知向量，，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题）已知向量，，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．
6．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平行四边形中，点是对角线BD上任意一点（点与不重合），且，则四边形的面积为（ ）

A．3B．2C．D．
8．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ）
A．2B．0
C．D．
二、多选题
9．（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量均为单位向量，且，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．与一定不是平行向量
C．的最大值为
D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
三、填空题
11．（24-25高三上·山东德州·期中）已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则 .
12．（24-25高三上·上海·期中）在平面四边形中，、 分别是、的中点.若，，且，则
13．（福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 .
14．（2024高三·全国·专题练习）在直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），
①的取值范围是0,4
②点经过的外心
③点所在轨迹的长度为2
④的取值范围是
则以上结论正确的是 ．（填写序号）
15．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ．
16．（24-25高三上·广东中山·期中）已知向量，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则 ．
四、解答题
17．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且.
(1)求;
(2)求与的夹角.
18．（2024高三·北京·专题练习）如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
(1)当时，用向量，表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
参考答案：
1．D
【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可；
【详解】
，
故选：D.
2．C
【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解.
【详解】因为，设，则，
即，解得，
故选：C.
3．A
【分析】解法1：建系，设，，结合数量积的坐标运算求解；解法2：根据数量积的几何意义分析求解.
【详解】解法1：以A为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
可得，则，
结合选项可知选项A的值不可能成立；
解法2：设在上的数量投影为，则，
结合选项可知选项A的值不可能成立；
故选：A.
4．B
【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可.
【详解】因为，，所以四边形为直角梯形.
，，，则面积，
故选：B.
5．A
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，所以，又，，
所以，又，解得.
故选：A
6．A
【分析】利用平方运算可求得和，再由和余弦函数的最值求解.
【详解】根据题意，
，∴
，
设为的夹角，
.
故选：A.
7．D
【分析】由已知可求得，进而可得，利用向量的数量积求得，求得面积.
【详解】，
又四边形是，所以，
所以，所以，所以，所以为菱形．
由，所以，
所以角，所以．
故选：D.
【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与向量的数量积求得四边形一组邻边的长与夹角，从而求得面积，向量的线性运算与数量积是解决向量有关问题的基础.
8．C
【分析】根据投影向量的概念可求得，利用向量垂直数量积为可求得的值.
【详解】由题意得，，则.
∵，
∴，即，
∴，解得.
故选：C.
9．BCD
【分析】对两边平方可判断；对两边平方可判断；求出，，由向量的夹角公式计算可判断出C；由投影向量定义可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，则，故错误；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以
，
则，故C正确；
对于D，因为，，
所以在上的投影向量为，
故正确.
故选：BCD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：因为，所以与一定不是平行向量，故B正确；
对于C：因为，
所以，
所以当时取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D：在上的投影向量为，所以，
所以，
又，所以，故D正确.
故选：ABD
11．3
【分析】由已知可得，从而利用可求值.
【详解】因为三角形是正三角形，为中点，
所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】结合三角形中位线的性质，根据向量数量积的运算律可得，进而可得.
【详解】
如图所示，连接，取中点为，连接，，
则，，
则，，
整理可得，
则，
故答案为：.
13．
【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得.
【详解】依题意，在上的投影向量为，则，
，而，
所以.
故答案为：
14．①②④
【分析】对①，由直角三角形结合向量的运算可得判断即可；对②③，由题意推导,进而可得P在线段OC上判断；对④，根据平面向量的线性运算可得·(＋)＝－2||||，再根据基本不等式求解即可.
【详解】对①，由中为斜边，
可得，
又斜边，则||，则·，①正确；
对②，若O为AB中点，则＝，故
又sin2θ＋cs2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，
又O是△ABC的外心，所以②正确，③错误；
对④，又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||，
又||＋||＝||＝1，则||||≤＝，
当且仅当||＝||＝时，等号成立，
所以·(＋)＝－2||||，④正确．
故答案为：①②④
15．
【分析】设，其中，根据条件得＝＋，利用共线的推论，得到，即可求解.
【详解】因为与交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得＝＋，因为三点共线，所以，可得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
16．
【分析】根据基基底的定义，可得向量的位置关系，利用共线定理，建立方程，结合向量的模长公式，可得答案.
【详解】因为，，向量与向量不能作为平面向量的一组基底，
所以，所以，解得，所以，
故．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得；
（2）根据数量积的定义即可求得.
【详解】（1）因为向量，所以，
由得，
解得，所以
又，所以
（2）设向量与向量的夹角为，因为，
所以
又，所以，
即向量与向量的夹角是
18．(1)＋
(2)，
【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可；
（2）用向量，表示向量，应用数量积运算先求的最小值，即可求出.
【详解】（1）解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.