抛物线-2025届高三数学一轮复习专练

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1. 抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的 ．
2.抛物线的几何性质
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
4．从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点一 抛物线的定义及运用
【例1】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】与抛物线有关的最值问题的求解策略
（1）“看到准线想焦点，看到焦点想准线”；
（2）构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
【变式】已知点在抛物线上，则点到直线：的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A． B．C．D．
考点二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
【例2】已知抛物线的焦点在轴上，其上一点到焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有，所以只需一个条件确定值即可．
(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
【变式】过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
命题点2 抛物线的几何性质
【例3】已知抛物线的焦点为，、为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点2 抛物线的几何性质
方法技巧】抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线焦点的弦,
设,则
(1) ，.
(2)为直线的倾斜角)．
(3)为定值.
(4)以为直径的圆与准线相切．
(5)以或为直径的圆与轴相切．
【变式】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例4】在直角坐标系中，直线:交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．
（1）求；（2）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．
【方法技巧】直线与抛物线的位置关系解题策略
(1)直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式；若不过焦点，则必须用弦长公式．
1.为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的顶点是原点，焦点在轴的正半轴上，经过的直线与抛物线交于、两点，如果，那么抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，延长交抛物线于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交抛物线的准线于两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是 ．
6．若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是 ．
7．设抛物线：的焦点为，直线过且与交于两点．若，求直线的方程．
8．已知动圆的圆心为点,圆过点且与直线相切．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若圆与圆相交于两点，求的取值范围．
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
焦半径
对称性
轴
轴
顶点
离心率