排列组合专项练习-2025届高三数学一轮复习

这是一份排列组合专项练习-2025届高三数学一轮复习，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．288种
2．（2024高三·全国·专题练习）若一组数据的第百分位数是，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（ ）
A．42种B．72种C．78种D．120种
4．（24-25高三上·河北·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（ ）
A．16种B．32种C．64种D．96种
5．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）
A．1440种B．240种C．216种D．120种
6．（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ）
A．560B．455C．91D．55
7．（2024·江西新余·模拟预测）小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（ ）.
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12B．24C．28D．36
二、多选题
9．（2024·湖南·模拟预测）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
10．（2024·辽宁锦州·模拟预测）现有分别标有2024，2021，2028，2023，2020，2022数字的6张卡片，下列说法正确的是（ ）
A．卡片数字的第80百分位数为2024
B．从中随机抽取两张，共有30种不同的组合
C．从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大
D．从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件
11．（2025·全国·模拟预测）将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则这样的数列共有360个
B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个
C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个
D．若，，，则这样的数列共有71个
三、填空题
12．（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
13．（2024·陕西西安·模拟预测）公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答） ．
14．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）.
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
16．（2024高三·全国·专题练习）（1）证明：；
（2）化简：．
17．（2024高三·全国·专题练习）马路上有编号为的九只路灯，现要关掉其中的盏，但不能关掉相邻的盏或盏，也不能关掉两端的盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
18．（25-26高三上·上海·单元测试）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(3)从中选出2名男生和2名女生分四个不同角色表演朗诵，有多少种选派方法？
19．（2024·湖北荆州·模拟预测）如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为，规定：.
…… … … … … …
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是，
共有3种不同的方法；
第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法；
第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法；
由分步计数原理可知，共有种．
故选：C
2．A
【分析】根据条件，先求出第百分位数，再利用组合数计算公式，即可求解.
【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列得，因为，
所以这组数据的第百分位数，所以.
故选：A.
3．C
【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.
【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，
所以这5名同学的可能排名有种.
故选：C
4．D
【分析】根据题意按照分步计数原理对表格中的数据分步填写并保证符合题意即可得出结果.
【详解】根据题意，分三步进行；
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有种排法；
第二步，排第一步中剩余的两组数，且这两数字之和不为7，共有种排法；
第三步，排剩下的两个数字，共有种排法.
由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.
故选：D.
5．C
【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数.
【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，
若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法，
甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种．
故选：C．
6．B
【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决.
【详解】设，，，
则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数.
因为方程：的解的组数为：；
的解的组数为：；
…
的解的组数为：.
所以原不等式解的组数为：.
故选：B
【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为.
7．B
【分析】先利用隔板法求出，再根据部分平均分组法计算出，即可求解.
【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，
利用隔板法共有种放法，所以；
将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，
可以将个球分成组，有和两种分组方法，
按分组时，有种放法，按分组时，有种放法，
所以，所以.
故选：B
8．D
【分析】分三种情况，两人所选影片均不同，两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，不是《名侦探柯南》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可.
【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，
小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案，
若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，
若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，
再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，
综上，共有种方案.
故选：D
9．ABC
可用倍缩法，6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有种，故A正确；
B：小明、小红两人相邻共有种排法，将两人插空到其余四人全排列中共有种，故B正确；
C：6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，有种排法，再将小明、小红两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，故C正确；
D：6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有种，故D错误；
故选：ABC
10．AC
【分析】求出第80百分位数判断A；利用组合计数判断B；求出概率判断C；确定质数个数判断D.
【详解】对于A，由，得数据2020，2021，2022，2023，2024，2028的第80百分位数为2024，A正确；
对于B，从中随机抽取两张，共有种不同的组合，B错误；
对于C，从中随机抽取一张，抽到偶数的概率是，抽到奇数的概率是，C正确；
对于D，6张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D错误.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据对称性可得，即可判断A；对于B：对的位置分类讨论即可得答案；对于C：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断C；对于D，分、、三种情况讨论即可判断.
【详解】对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于B：从中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，故B错误．
对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故C正确；
对于D：若，则先从其余6个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数中最大的为，剩下的3个数任取2个作为且，有种方法，
则这样的数列有个，
若，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数中最大的为，，剩下的2个数任取1个作为或即可，有种方法，则这样的数列有个，
若，则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为且，有种方法，
剩余4个数位置固定的一种排法，其中，则这样的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；
故选：ACD.
12．
【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.
【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；
人数组合是时，共有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，
所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.
故答案为：.
13．
【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果.
【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有种选法，
又将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有种分法，
所以不同的分配方案种数为.
故答案为：.
14．
【分析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，对、、取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.
【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，
若、、都没有取到，则有种不同的取法；
若、、取到一个，则有种不同的取法；
若、、取到两个，则有种不同的取法；
若、、取到三个，则有种不同的取法；
综上可得一共有种不同的取法.
故答案为：
15．
【分析】先排2盆葵花，再排其他的花种，即可求解.
【详解】先种两种不同的葵花，在不受限制的四个花盒中，共有种排列，再种其它葵花有种排列，由分步计数原理得（种）．
故有种符合要求的种法．
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用阶乘的运算可得答案；
（2）利用阶乘的运算可得答案．
【详解】（1）证明：；
（2）原式．
17．10
【分析】此问题可转化为排队模型，即在盏亮灯形成的个空隙中，插入盏不亮的灯就即可得到答案.
【详解】把此问题当作一个排队模型，
在盏亮灯形成的个空隙中，插入盏不亮的灯，有（种）关灯方法．
18．(1)1440
(2)3720
(3)432
【分析】（1）先全排，再插空即可；
（2）特殊位置优先考虑，结合排列即可解决；
（3）先选出人再排角色，结合分步乘法原理计算即可.
【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位．
②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则三名女生不能相邻的排法有1440种；
（2）根据题意，分2种情况讨论：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况，
②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，
有种站法，则此时有种站法，则一共有3720种站法；
（3）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有种情况，
其次4人分四个不同角色，有种情况，共有种选派方法．
19．(1)相等，证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，3
【分析】（1）根据题意，猜想得到，结合组合数的运算公式，即可作出证明.
（2）第一行的所有数之和为，第二行的所有数之和为，当时，第m行的所有数之和为，即可得到结论.
（3）根据题意，存在正整数，使得恒成立，结合排列数的计算公式，即可求解.
【详解】（1）第1行最后两数，第2行的最后两数，
第行的第m个数为，第个数为，
猜测：.
因为；
又因为
，
即.所以每一行的最后两个数相等.
（2）第一行的所有数之和为，
第二行的所有数之和为，
当时，第m行的所有数之和为
，
所以每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数.
（3）当，时，，，
当时，此时显然不成立；
猜测：存在正整数，使得恒成立，的最大值为3.
证明：当时，恒成立.
由（1）知，，则，
因为
，
又，当时，，
当时，，所以，
综上：存在正整数，且的最大值为3，使得恒成立.