条件概率专项练习-2025届高三数学一轮复习

这是一份条件概率专项练习-2025届高三数学一轮复习，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·河北·模拟预测）若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分且必要D．既不充分又不必要
2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·上海·期中）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
4．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·北京·阶段练习）高二某班共有50名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）学业成绩是否优秀与日均体育锻炼时长有关．据调查，某校大约有的学生学业成绩优秀，大约有的学生日均体育锻炼时长超过1.5h，且其中日均体育锻炼时长超过1.5h的学生学业成绩的优秀率约为．现从日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生中任意调查一名学生，则他的学业成绩优秀的概率约为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏南通·期中）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥B．事件A与相互独立C．D．
10．（2024高三·全国·专题练习）现有一颗质地均匀的骰子，将其先后抣掷两次，表示事件“第一次掷出点数为2”，表示事件“第二次掷出点数为4”，表示事件“两次掷出点数之和是8”，表示事件“两次掷出点数之差的绝对值为0”，则（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件相互独立
C．D．
11．（2024·浙江·一模）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知随机事件，若；则 ．
13．（24-25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 .
14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数）
四、解答题
15．（24-25高三上·辽宁·期中）甲乙两人进行场羽毛球比赛，甲每场比赛获胜的概率为，乙每场比赛获胜的概率为，记事件为“比赛中既有甲获胜也有乙获胜”，事件为“比赛中甲至多获胜一场”
(1)若，，求和；
(2)若，证明：事件，独立的充要条件为.
16．（24-25高三上·广西·期中）某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为12，如此往复．
(1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率；
(2)求该同学第二天选择餐厅的概率；
(3)记该同学第天选择餐厅的概率为，求数列的通项公式.
17．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局就不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜.根据以往两人的比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为，乙胜的概率为
(1)设第一局比赛后甲的红旗个数为，求的分布列和数学期望；
(2)求比赛共进行五局且甲获胜的概率；
(3)若比赛一共进行五局且第一局是乙胜，求此条件下甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）.
18．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由历史数据可知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为．
(1)求第1个球甲赢的概率；
(2)求第个球甲赢的概率；
(3)定义第个球甲赢的期望，求．
19．（24-25高三上·广东惠州·期中）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合.
(1)若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
(2)从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小
参考答案：
1．C
【分析】转化，，根据充分性必要性的定义，以及条件概率公式，分析即得解.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
反之由能推出，
所以“”是“”的充分且必要条件.
故选：C
2．D
【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可．
【详解】由，，可知，，
又，所以，
所以.
故选：D
3．B
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可.
【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立，
A选项，，故A一定成立；
B选项，，
而，所以，故B不成立；
C选项，，
故C一定成立；
D选项，，
故D一定成立.
故选：B.
4．B
【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率.
【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，
依题意，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故选：B
5．A
【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算．
【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场，
方法数为，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，
即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为，
因此所求概率为．
故选：A．
6．D
【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计算公式即可得出结论．
【详解】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人，
“三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人．
现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，
选上的学生是“三好学生”的概率，
故选：D．
7．A
【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解.
【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏，
则，
由条件概率公式可得.
故选：A
8．D
【分析】解法一：先求出日均体育锻炼时长不超过1.5h且学业成绩优秀的学生，再结合条件概率公式求解即可；
解法二 ：设该校总人数为1000人，分析可得日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生有800人，其中学业成绩优秀的有300人，进而结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】解法一：日均体育锻炼时长不超过1.5h且学业成绩优秀的学生有．
记“该学生日均体育锻炼时长不超过1.5h”为事件，“该学生学业成绩优秀”为事件，
则，，
所以．
解法二 ：不妨设该校总人数为1000人，则学业成绩优秀的有（人），
日均体育锻炼时长超过1.5h的有（人），
且其中学业成绩优秀的有（人），
因此日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生有（人），
其中学业成绩优秀的有（人），
因此，从日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生中任意调查一名学生，
他的学业成绩优秀的概率约为．
故选：D.
9．ABC
【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可.
【详解】因为与一定互斥，所以A对；
独立，B对．
对．
错，
故选：ABC
10．BC
【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立事件的定义即可判断B，结合条件概率的计算公式代入计算，即可判断CD
【详解】事件B与事件D可以同时发生，即第一次、第二次均掷出4点，
故事件B与事件D不互斥，A错误．
又，
从而事件A与事件D相互独立，B正确．
又，成立，C正确．
，，则，D错误．
故选：BC
11．BC
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.
【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误；
对于B，，，，，
则，
因此，B正确；
对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，
若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误.
故选：BC
12．
【分析】利用条件概率、独立事件的乘法公式结合事件的关系与运算计算即可.
【详解】由题意可得，，
而，
，
又.
故答案为：．
13．
【分析】根据对立事件结合独立事件概率求法求至少有一人命中的概率，记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N，求，结合条件概率公式运算求解.
【详解】记“至少有一人命中”为事件A，所以；
记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N，
则，
，
所以.
故答案为：；.
14．0.36
【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由条件概率计算即可；
【详解】设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂．
，，．
，，，．
故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．
故答案为：0.36.
15．(1)，.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据二项分布可求，根据条件概率的概率公式可求和；
（2）当时，根据独立事件的概率公式可判断事件，独立，而当事件，独立时，根据独立事件的概率公式结合数列的单调性可证明.
【详解】（1）表示“甲乙比赛3场，甲胜一场输两场”，
故，而，
故
（2）若，则，
，
而，故，
所以独立，
若独立，则，
而，
而，
所以，整理得到：，
化简得到：，设，则，
故当时，，而，
故有且只有一个正整数解，
综上，事件，独立的充要条件为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可;
（2）利用条件概率公式计算即得;
（3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率为;
（2）设表示第1天选择餐厅,表示第2天选择餐厅,则表示第1天选择选择餐厅，
根据题意得,
所以.
（3）设表示第天选择餐厅,则
根据题意得
由全概率公式得，
,
即,整理得，
又
所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
所以.
17．(1)分布列见解析，期望为3.1
(2)0.225
(3)0.48
【分析】（1）求出的可能取值和相应的概率，得到分布列，计算出数学期望；
（2）分两种情况，计算出概率相加得到概率；
（3）设出事件，利用条件概率公式得到答案.
【详解】（1）的可能取值为，
其中，，，
所以分布列为
数学期望为
（2）比赛共进行五局且甲获胜，则前4场甲赢2场，平局2场，最后一场甲赢，
或前3场甲赢2场，输1场，第4场和第5场最后一场甲均赢，
故概率为，
（3）设比赛一共进行五局且甲最终获胜为事件，
比赛一共进行五局且第一局是乙胜为事件，
故，
事件包含三种情况，一共进行五局，甲后4局获胜，
第2场，第3场和第4场中乙胜1场，平局2场，第5场乙胜，
第2场或第3场甲胜，剩余3场乙胜，
，
故比赛一共进行五局且第一局是乙胜，此条件下甲最终获胜的概率为
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设第1个球的发球人为甲为事件，第1个球的发球人为乙为事件，第1个球甲赢为事件，由条件概率公式可得，进而由全概率公式求解即可；
（2）先利用全概率公式找到与的递推关系式，进而得到数列是首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出；
（3）结合题意写出的表达式，进而利用分组求和法、错位相减法求.
【详解】（1）设第1个球的发球人为甲为事件，第1个球的发球人为乙为事件，
第1个球甲赢为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
第1个球甲赢的概率．
（2）设事件：第个球甲赢，事件：第个球乙赢，
由题知，当时，，
由全概率公式知，当时，
，
，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
．
（3）由（2）知，．
设数列的前项和为，
则，①
，②
①②得，
，
易知数列的前项和为，
．
19．(1)0
(2)①分布列见解析，证明见解析；②
【分析】（1）根据题意，将问题转化为数列求和问题，进而求解即可；
（2）①由题知的可能取值为：，进而结合题意得到，再结合等式求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；
②利用条件概率公式，结合不等式的性质变形即可证明.
【详解】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.
设数列的所有项的和为，
则.
所以数列的所有项的和为0.
（2）①证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列，
所以数列为项数列，
所以的可能取值为：.
因为集合中元素的个数共有个，
当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，
所以，
所以随机变量的分布列为：
因为，
所以
，
即.
②解：由条件得：，
所以，
化简得：，
所以，
则
即，
所以，即.
2
3
4
0.4
0.1
0.5
1
2
3