离散型随机变量与方差-2025届高三数学一轮复习专练

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若离散型随机变量的分布列为
⑴均值
①称为随机变量的均值或数学期望．
②它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
⑵方差
①称为随机变量 的方差．
②它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．
③其中算术平方根为随机变量的标准差．
2．两点分布
⑴均值_p____， ⑵方差_p(1-p)________．
3．二项分布
⑴均值__np___， ⑵方差_np(1-p)________．
4．均值与方差的性质
⑴_aE(x)+b_________． ⑵__________．
1．若离散型随机变量的分布列为（ ）
则的数学期望＝（ ）
A．2 B．2或 C． D．1
【答案】C
【解析】∵，∴，．
2．随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴ ．
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（1）由已知，有，
∴事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为
，，
.
∴随机变量分布列为
∴.
【方法技巧】求离散型随机变量的均值与
方差的步骤
（1）理解的意义，写出可能的全部值；（2）求取每个值的概率；
（3）写出的分布列．（4）由均值的定义求；（5）由方差的定义求．
考点二 与二项分布有关的均值与方差
【例2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．
【解析】（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，
表示事件“日销售量低于50个”，
表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此
，
，
.
(2)可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
， ，
，.
的分布列为
∵，
∴期望，
方差．
方法技巧】与二项分布有关的期望、方差的求法
（1）求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果，则用公式，求解，可大大减少计算量．
（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用以及求出，同样还可求出．
考点三 均值与方差在决策中的应用
【例3】某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成．规定:至少正确完成其中道题的便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成,道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
【解析】（1）设甲正确完成面试的题数为, 则的取值分别为．
，，；
考生甲正确完成题数的分布列为


．
设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为．
，,
,．
考生乙正确完成题数的分布列为:


．
（2）∵，
， ∴．
综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；
从做对题数的方差考查,甲较稳定；
从至少完成道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大．
【方法技巧】均值与方差在决策中的方法
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
1．设随机变量，且，则概率的值是（ C ）
A． B．
C．或 D．
【解析】由，解得或．
2．设随机变量的分布列为，则等于（ B ）
A．5 B．8 C．10 D．16
【解析】∵，
∴．
3．随机变量～，那么的值为（B ）
A． B． C． D．
【解析】，
∴．
4．有一批产品，其中有件正品和件次品，从中任取件，若表示取到次品的个数，则（ B ）
A． B． C． D．
【解析】可取，则，
∴，
．
5．已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
【解析】∵，∴，∴.
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
【解析】一次实验中成功次数的取值为．
其中．
在1次实验中成功的概率为，
∴在2次试验中成功次数的概率为
,，∴．
7．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满元减元：
方案二：每满元可抽奖一次．具体规则是依次从装有个红球、个白球的甲箱，装有个红球、个白球的乙箱，以及装有个红球、个白球的丙箱中各随机摸出个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
【解析】（1）记顾客获得半价优惠为事件，
则，
两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率
．
（2）若选择方案一，则付款金额为元．
若选择方案二，记付款金额为元，则可取，，，．
，
，
，
，
则．
∵，∴第二种方案比较划算．
8．张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
H
C
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
【解析】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则
．
∴走路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为，，．
，
，
．
随机变量的分布列为：
．
（3）设选择路线遇到红灯次数为，
随机变量服从二项分布，，
∴．
∵，∴选择路线上班最好．
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
红球个数
实际付款
半价
折
折
原价
0
1
2