随机事件的概率-2025届高三数学一轮复习专练

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2．频率和概率
（1）在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．
（2）对于给定的随机事件，由于事件发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
3．事件的关系与运算
3．事件的关系与运算
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__________．
(2)必然事件的概率______．
(3)不可能事件的概率______．
(4)互斥事件概率的加法公式
①若、互斥，则 ;
②若、对立，则 ．
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非对立事件B．对立事件
C．相互独立事件D．以上都不对
3．先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A．B．C．D．
考点一 事件关系的判断
【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
【方法技巧】互斥、对立事件的两点注意
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
(2) 判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式】一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（ ）
A．两次都中靶 B．至多有一次中靶
C．恰有一次中靶 D．至少有一次中靶
考点二 随机事件的频率与概率
【例2】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间
不下雨的概率．
【方法技巧】概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
【变式】某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
考点三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、、，求：
(1) ，，；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【方法技巧】求复杂事件的概率的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
确定
事件
必然
事件
在条件下， 的事件叫作相对于条件的必然事件
不可能事件
在条件下， 的事件叫作相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件下， 的事件叫作相对于条件的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B________事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的________(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
定义
符号表示
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
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20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
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雨
阴
阴
日期
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29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
抽取球数
50
100
200
500
1000
2000
优等品数
45
92
194
470
954
1902
优等品频率