山东省德州市2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．以下有关不等式的性质,描述正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,,,则,
3．已知向量,,若与平行,则( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的前n项和为,,,则( )
A.180B.200C.220D.240
5．已知,,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知关于x的函数在上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.
B.,
C.若,,
D.的值域为
10．已知函数,则( )
A.函数有两个零点
B.是的极小值点
C.是的对称中心
D.当时,
11．已知数列的各项均为负数,其前n项和满足,则( )
A.B.为递减数列C.为等比数列D.存在大于的项
三、填空题
12．已知正三角形的边长为2,O为中点,P为边上任意一点,则________.
13．设,当时,,则________.
14．已知函数的定义域为R,,为偶函数,且,则________,________.
四、解答题
15．已知中的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
（1）求A;
（2）若A的角平分线交于D,,求面积的最小值.
16．某企业计划引入新的生产线生产某设备,经市场调研发现,销售量（单位:台）与每台设备的利润x（单位:元,）满足:（a,b为常数）.当每台设备的利润为36元时,销售量为360台;当每台设备的利润为100元时,销售量为200台.
（1）求函数的表达式;
（2）当x为多少时,总利润（单位:元）取得最大值,并求出该最大值.
17．在数列中,,其前n项和为,且（且）.
（1）求的通项公式;
（2）设数列满足,其前n项和为,若恒成立,求实数的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时,求函数在点处的切线方程;
（2）当时,求的单调区间;
（3）若函数存在正零点,求a的取值范围.
19．已知数列,从中选取第项、第项、…第项,顺次排列构成数列,其中,,则称新数列为的长度为m的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列.
（1）写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列;
（2）若数列满足,,其子列长度,且的每一子列的所有项的和都不相同,求的最大值;
（3）若数列为等差数列,公差为d,,数列是等比数列,公比为q,当为何值时,数列为等比数列.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得,解得,所以
由,所以,所以,
所以.
故选:D.
2．答案：B
解析：A.当时,,选项A错误.
B.由得,故,选项B正确.
C.,
由得,,,所以,故,选项C错误.
D.令,,满足,,,,结论不正确,选项D错误.
故选:B.
3．答案：A
解析：由,可得,,
若若与平行可知,
解得.
故选:A
4．答案：C
解析：设等差数列的首项为,公差为d,
由,可得;
解得,
因此.
故选:C
5．答案：A
解析：由可得,解之得或,
设,对应,
,其解集对应,
则p是q的充分不必要条件等价于A是B的真子集,所以.
故选:A
6．答案：D
解析：令,
则,,在上单调递减,
由复合函数的单调性可知,t在单调递减,
,则,
故选:D
7．答案：C
解析：由,可得,
当时,,
因为方程在区间上恰有3个实数根,
所以,解得,
所以的取值范围是.
故选:C.
8．答案：B
解析：因为有三个不同零点,所以有三个不同实根,
所以,的图象有三个交点,
在同一平面直角坐标系中作出,的图象,
当经过点时,
代入坐标可得,解得;
当与的图象相切时,
设切点为,因为此时,所以,
所以切线方程为,即,
所以,可得;
结合图象可知,若的图象有三个交点,则,
故选:B.
9．答案：BC
解析：A选项:因为,故不满足“一正”,A选项错误;
B选项:因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以B选择正确;
C选项:,,所以,,所以,当且仅当,即时取等号,所以C选项正确;
D选项:因为,所以,当且仅当时取等号,但无解,所以,所以D选项错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：由,解得或,所以函数有两个零点,故A正确;
由,得,
令,解得或,
当时,,当时,,
所以是的极小值点,故B正确;
由函数的对称轴为,此时的对称中心是两个极值点的中点,
所以是的对称中心,故C不正确;
当时,,所以在上单调递增,
若,可得,所以,故D正确.
故选:ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项,当时,由题意可得,因为,所以,,
当时,由可得,整理可得,
因为,解得,A对;
对于B选项,当时,由可得,
上述两个等式作差可得,
因为,即,
所以,数列为递减数列,B对;
对于C选项,若数列为等比数列,则,
因为,,,则,
设等比数列的公比为q,则,解得,不合乎题意,
所以,数列不是等比数列,C错;
对于D选项,假设对任意的,,
则,
此时,,与假设矛盾,假设不成立,D对.
故选:ABD.
12．答案：3
解析：因为三角形是正三角形,O为中点,
所以,所以,又正三角形的边长为2,所以,
所以.
故答案为:3.
13．答案：
解析：,
由,所以,所以,
因为,又,所以,
所以.
故答案为:.
14．答案：1;
解析：由得,,,
,故是周期为4的函数.
为偶函数,,,
令,得,
令,得.
在中,令,得,
.
令,得,故,
令,得,故.
由函数的周期性得,
.
故答案为:1;.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以由正弦定理得,
又因为,所以,
即,又,所以;
（2）,即,
化简得,
所以,
所以所以,
当且仅当时取“=”,
所以,所以面积的最小值为.
16．答案：（1）
（2）当x为100元时,总利润取得最大值为20000元.
解析：（1）由题意知,
得
故.
（2）设总利润,
由（1）得
当时,,
在上单调递增,
所以当时,有最大值10000.
当时,,,
令,得.
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,有最大值20000.
当时,.
答:当x为100元时,总利润取得最大值为20000元.
17．答案：（1）
（2）.
解析：（1）因为,代入,
整理得,
所以,,…,,
以上个式子相乘得,
.
当时,,符合上式,所以.
（2）.
所以,①
,②
①②得,
,
所以.
由得:,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,即的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）单增区间是,无单减区间;
（3）.
解析：（1）由题知,,
于是,
所以切线的斜率,
于是切线方程为,即
（2）由已知可得的定义域为,
且,
因此当时,,从而,
所以的单增区间是,无单减区间;
（3）由（2）知,,
令,,
当时,.
①当时,可知,在内单调递增,
又,故当时,,所以不存在正零点;
②当时,,又,
,
所以存在满足,
所以在内单调递增,在内单调递减.
令,则当时,,
故在内单调递增,在内单调递减,
从而当时,,即,
所以,
又因为,所以,因此,,使得
即此时存在正零点;
③当时,,,
从而为减函数.
又,所以当时,.
故时,恒成立,又,故当时,,
所以函数不存在正零点;
综上,实数a的取值范围为.
19．答案：（1）2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;
（2）
（3）
解析：（1）根据题意可知,从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列即可得出符合题意的递增子列;
可取2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;2,4,6,9;2,5,6,9;4,5,6,9中任意三个;
（2）因为长度,且的每一子列的所有项的和都不相同,
由可知,
为使的值最大,所以尽量使,,,的取值最小即可,
从而的最小值为2,的最小值为5,取,,
因为,则的最小值为8,取;
若,,不符合题意;
若,因为,,,,;
,,,;
,以上数值均不相同.所以最小值为14,取.
当,,,均取最小值时,则,,,均取到对应的最大值,
,
所以的最大值为.
（3）由数列为等比数列,得,,
又数列的公差为d,,
所以,
化简整理得,
又数列为等比数列,所以.
因为,所以,
于是,又,所以,即.
此时,,于是,即数列为等比数列,
综上可知,当时,数列为等比数列.