西北工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份西北工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,满足,且,则在上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知圆关于直线对称,则的最小值是( )
A.2B.3C.6D.4
5．已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,若面积是面积的2倍,则( ).
A.B.C.D.
6．已知圆,若圆M与圆恰有三条公切线,则实数( )
A.9B.-9C.8D.-8
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点M在C上,点N的坐标为,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．函数的图像是由向右平移个单位、再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的,若函数在区间上有且只有一个零点,则的取值范围是( )
A.B.C..D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.现有一组数据4,7,9,3,3,5,7,9,9,6,则这组数据的第30百分位数为4
B.某人打靶时连续射击三次,则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C.若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为18
D.若事件A、B相互独立,,,则
10．下列说法正确的是( )
A.若一条直线沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为
B.“”是“直线与直互相垂直”的充要条件
C.直线的倾斜角的取值范围是
D.若点,,直线l过点且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴的上、下两个端点分别为,,点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点,的平分线交C的长轴于点M,则下列描述正确的有( )
A.若的周长为6,则
B.当时,的内切圆半径为1,则
C.若C上存在四个P点使得,则
D.若,则的取值范围是
三、填空题
12．已知点是圆上任意一点.则的最大值是______________.
13．已知,是椭圆的左,右焦点,AB是过的一条弦,若,且,则椭圆C的离心率为_____________.
14．在四面体中,,,,若四面体的体积最大时,则四面体的外接球的表面积为____________.
四、解答题
15．已知直线,圆.
(1)求证：直线l恒过定点,并求出定点坐标;
(2)若直线l的倾斜角为,求直线l被圆C截得的弦长.
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求B;
(2)若为锐角三角形,求周长的取值范围.
17．已知点A,B的坐标分别是,,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点的直线l交动点M的轨迹于C,D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.
18．已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点,.
(1)证明：;
(2)当为何值时,面与面所成的夹角的余弦值最大？
19．已知椭圆两焦点分别为,,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线,分别交椭圆于A,B两点.
(1)求P点坐标;
(2)求证：直线的斜率为定值;
(3)求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：对于不等式,得到.即,集合.
对于不等式,移项得,解得,集合.
可得.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：依题意,在上的投影向量为.
故选：A.
4．答案：D
解析：因为圆关于直线对称,
所以直线l过圆心,即,
则
因为,且,所以,,
所以,
当且仅当即,等号成立,
则的最小值是4.
故选：D.
5．答案：C
解析：将直线与椭圆联立,消去y可得,
因为直线与椭圆相交于A,B点,则,解得,
设到的距离,到距离,易知,,
则,,
,解得或（舍去）,
故选：C.
6．答案：B
解析：圆可化为,圆心为,半径为.
若圆M与圆恰有三条公切线,则两圆外切.
圆可化为,圆心为,半径为,.
由,所以,解得.
故选：B.
7．答案：B
解析：依题意,,,,,,,
,,
所以,当M位于线段与椭圆交点处时等号成立.
根据椭圆的定义可知,
如图所示,设的延长线与椭圆相交于,
则当M位于时,取得最大值为,
综上所述,的取值范围为.
故选：B.
8．答案：D
解析：将函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象;
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,得到函数的图象,若函数在区间上有且仅有一个零点,
因为,
所以,即,
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A,将数据从小到大排列为3,3,4,5,6,7,7,9,9,9,因为 ,所以这组数据的第30百分位数为故A错误;
对于B,事件"至少两次中靶"与事件"至多一次中靶"不能同时发生且必有一个发生,是对立事件,故B正确;
对于C,若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为,故C正确;
对于D,因为事件A,B相互独立,所以B相互独立,
,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A,设原直线方程为,
经平移变换后的直线方程为,即,
依题意,,因此直线斜率,A正确;
对于B,当时,直线与直线互相垂直,
因此“”不是“直线与直互相垂直”的充要条件,B错误;
对于C,直线的倾斜角为,则,由,得,C正确;
对于D,直线的斜率,直线的斜率,如图,
观察图形知当时,直线l与线段相交,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意可知：,,
设,,则,,
对于选项A：若的周长为,解得,故A正确;
对于选项B：因为,则,
即,整理可得,
又因为的内切圆半径为1,
由的面积可得,即,
整理可得,解得,即,故B正确;
对于选项C：若C上存在四个P点使得,
则,即,则,解得,故C错误;
对于选项D：若,则,,
设,,则,,
由角平分线的性质可得,即,,
可得,即,可得,
即,
且,即,解得,
且,可得,
可得,故D正确;
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意可知：圆的圆心为,半径为1,
设,可知直线与圆有公共点,
则,解得,
所以的最大值是为.
故答案为：.
13．答案：
解析：令,则直线的方程为,
由消去x得,
设,,则,,
由,得,联立消去,,得,
整理得,即,所以椭圆C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,作的中点E,连接,
因为,,
所以
该三棱锥以为底,点P到底面的距离为高,因为,
要使体积最大,则高最大为,此时平面,
故,平面平面
设,,,
则底面积
由余弦定理可知,当且仅当时等号成立,
故的最大值为,此时,
所以当四面体底面为等边三角形,,平面平面时,四面体体积最大,
此时底面的外接圆圆心为O,连接,,,,
由正弦定理可知,
显然
所以
所以
所以
故点O为该三棱锥外接球球心,外接球半径
所以外接球表面积为.
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析,.
(2).
解析：(1),
联立
解得
故直线l恒过定点.
(2)由题意直线l的斜率,得,

圆,圆心,半径,
圆心C到直线l的距离
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,由及正弦定理,得,
而,则,由余弦定理得,
而,所以.
(2)由(1)知,,在锐角中,,则,
由正弦定理得,
于是
,
而,则,即,,
所以周长的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,.
因为,即,化简得,
所以动点M的轨迹方程为.
(2)设,.
显然直线l斜率存在,则,且,
将,,代入,得,
两式相减可得,
即,可得.
所以直线l的方程为,即.
18．答案：(1)证明见解析
(2)当时,面与面所成的二面角的余弦值最大
解析：(1)三棱柱为直三棱柱,平面,又平面,
,又,平面,,
平面,又平面,;
四边形为正方形,,.
(2)以B为坐标原点,,,为x,y,z轴,可建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,设,则,则,,
设平面的法向量,
则,令,解得：,,;
又平面的一个法向量,
,
则当时,,
即当时,面与面所成的二面角的余弦值最大.
19．答案：(1);
(2)证明见解析;
(3).
解析：(1)由题可得,,
设,
则,,
,
点在曲线上,则,,
从而,得,
则点P的坐标为.
(2)由题意知,两直线,的斜率必存在,设的斜率为,
则的直线方程为,
由得,
设,则,
同理可得,
则,
的斜率为定值.
(3)设AB的直线方程,
得,
由得,
P到AB的距离为,
则
,
当且仅当时取等号,
三角形面积的最大值为.