永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．双曲线的虚轴长为( )
A.B.C.3D.6
2．已知,,若,则实数的值为( )
A.-2B.C.D.2
3．抛物线,的准线方程是( )
A.B.C.D.
4．平行六面体的底面是边长为2的正方形,且,,M为,的交点,则线段的长为( )
A.3B.C.D.
5．已知抛物线的焦点为F,过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,若弦的中点到抛物线准线的距离为3,则抛物线的方程为( )
A.B.C.D.
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为( )
A.B.C.D.1
7．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与y轴交于点M,与C的右支交于点P,且满足,若点O,,P,M四点共圆（O为坐标原点）,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．如图,在棱长为的正方体中,点P是平面内一个动点,且满足,则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C.直线的倾斜角的取值范围是
D.若点,,直线l过点且与线段相交,则l的斜率k的取值范围是
10．已知圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆上任意一点,线段的垂直平分线l和直线相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断正确的是( )
A.当点A在圆O内（不与圆心重合）时,点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.点Q的轨迹不可能是圆
D.当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线
11．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决,如：对于形如的代数式,可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点,对于函数,下列说法正确的是( )
A.的图象是轴对称图形B.的值域是
C.先减小后增大D.方程有三个解
三、填空题
12．已知点N是点在坐标平面内的射影,则___________．
13．一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为___________.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为,,M为椭圆C上任意一点,N为圆上任意一点,则的最小值为____________.
四、解答题
15．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则执业医师考试“合格”,并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,,在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格互不影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试,谁获得执业医师证书的可能性最大？
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后,求恰有两人获得执业医师证书的概率.
16．已知圆和定点,直线.
(1)当时,求直线l被圆C所截得的弦长;
(2)若直线l上存在点M,过点M作圆C的切线,切点为B,满足,求m的取值范围.
17．如图,在三棱柱中,,,,在底面ABC的射影为BC的中点,D是的中点.
(1)证明：平面;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．已知A、B分别为椭圆的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程;
(2)证明：直线CD过定点.
19．若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”,求的取值范围;
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”,若存在实数：,使得对任意的,不等式都成立,求实数s的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,所以双曲线的虚轴长为.
故选：D.
2．答案：C
解析：向量,,
若,
则,
．
故选：C．
3．答案：A
解析：抛物线,,即,它的的准线方程为.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题意可知：
,
则
,
所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为直线l的方程为,即,
由消去y,得,
设,,则,
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3,所以,
而,所以,
故,解得,所以抛物线的方程为
故选：B.
6．答案：C
解析：
记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率k最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
7．答案：D
解析：因为点O,,P,M四点共圆,,是圆的直径,
所以,即,
所以,即,
又因为,所以,即,
所以,又,所以,
又因为,所以,即,
所以,所以,所以.
故选：D.
8．答案：A
解析：连接交平面于点O,延长线段至点M,使得,
连接、、,如下图所示：
已知在正方体中,底面,平面,,
又四边形为正方形,所以,,
,平面,平面,,
同理,,平面,
三棱锥的体积为,
,,
可得,
所以,线段的长被平面与平面三等分,且与两平面分别垂直,
而正方体的棱长为3,所以,,如下图所示：
其中,不妨设,由题意可,
所以,,可得,
所以,点P在平面内以点O为圆心,半径为1的圆上.
因为,所以,直线与直线的夹角即为直线与直线所成角.
接下来要求出线段与的长,然后在中利用余弦定理求解.
如图,过点O作平面于点H,过点H作于点N,连接,
根据题意可知,,且,
所以,,.
如图所示,,当点P在处时,最大,当点P在处时,最小.
这两种情况下直线与直线夹角的余弦值最大,为;
当点P在点O处时,为直角,此时余弦值最小为0.
综上所述,直线与直线所成角的余弦值的取值范围是.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于选项A：当时,直线与直线斜率分别为1,-1,
斜率之积为-1,故两直线相互垂直,即充分性成立;
若“直线与直线互相垂直”,
则,故或,
所以得不到,即必要性不成立,故A错误;
对于选项B：由直线平行得,解得,
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件,故B正确;
对于选项C：直线的倾斜角为,则,
因为,所以,故C正确;
对于选项D：如图所示：
可得,,结合图象知,故D正确;
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对A,如图1,连接,
由已知得,所以．
又因为点A在圆内,所以,
根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O、A为焦点,r为长轴长的椭圆,A对;
对B,如图2,
当点A在圆上时,点Q与圆心重合,轨迹为定点,B对;
对D,如图3,连接,
由已知得,所以．
又因为点A在圆外,所以,
根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O、A为焦点,r为实轴长的双曲线,D对;
对C,当点A与点O重合时,如图4,
则线段的中垂线l与直线的交点即为线段的中点,
此时,,即点Q的轨迹是以点O为圆心,半径为的圆,C错.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：由已知,
设,,,则,如图,
由图形可得P点关于对称时,的值相等,因此的图象是轴对称图形,它关于直线对称,A正确;
显然轴,当时,,即,
又,而P,M,N不可能共线,即,
所以,B错;
设Q在x轴上,且P在右侧,Q在P点右侧,与交于点E,则,,
,
,在轴上点的右侧,,
,即
这说明P点从向右移动时,递增,同理P在x轴从左侧向点移动时,减小,C正确;
,,
设,则的解是和,
有一个解,而有两个解,因此有三个解,D对．
故选：ACD．
12．答案：5
解析：由题可知,,则,．
故答案为：5.
13．答案：
解析：圆的圆心为,,
圆的圆心为,,
设动圆的圆心为P,半径为r,
由题意得,,则,,,
由椭圆定义得P的轨迹方程为,
故答案为：
14．答案：
解析：由M为椭圆C上任意一点,则
又N为圆上任意一点,则（当且仅当M、N、E共线时取等号）,
,
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
,,则,
的最小值为．
故答案为：．
15．答案：(1)乙的可能性最大
(2)
解析：(1)记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件,,,
在实践考试中合格依次为,,,
则甲乙丙获得执业医师证书依次为,,,
并且与,与,与相互独立,
则,,
由于,故乙获得执业医师证书的可能性最大.
(2)由于事件,,彼此相互独立,
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：,
概率为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)圆,圆心,半径,
当时,直线l的方程为,
所以圆心C到直线l的距离,
故弦长为.
(2)设,则,
由,,得.
化简得,
所以点M的轨迹是以为圆心,8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上,所以与圆D有公共点,
所以,
解得,
所以m的取值范围是.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取BC的中点O,连接,,
,D是的中点.,
,,
因为在底面ABC射影为BC的中点,所以平面ABC,
又平面平面,所以平面,
又面,所以,
因为,,平面,所以平面;
(2)如图,以O为坐标原点,以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则,,
则,,,,
,,,.
设平面的法向量为,
则,得,取,得,
因为平面,所以即为平面的一个法向量,
则,所以平面与平面的所成角的余弦值为.
18．答案：(1);
(2)证明详见解析.
解析：(1)依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：,,
,
,
椭圆方程为：
(2)[方法一]：设而求点法
证明：设,
则直线的方程为：,即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：,
整理得：,解得：或
将代入直线可得：
所以点C的坐标为.
同理可得：点D的坐标为
当时,
直线的方程为：,
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时,直线,直线过点．
故直线CD过定点．
[方法二]【最优解】：数形结合
设,则直线的方程为,即．
同理,可求直线的方程为．
则经过直线和直线的曲线的方程可写为．
可化为．④
易知A,B,C,D四个点满足上述方程,同时A,B,C,D又在椭圆上,
则有,代入④式可得．
故,可得或．
其中表示直线,则表示直线．
令,得,即直线恒过点．
19．答案：(1)不是“依赖函数”,理由见解析;
(2);
(3)最大值为.
解析：(1)对于函数的定义域R内存在,则无解,
故不是“依赖函数”.
(2)因为在上递增,故,即,,
由,故,得,
从而上单调递增,故.
(3)①若,故在上最小值为0,此时不存在,舍去;
②若,故在上单调递减,
从而,解得(舍)或,
从而存在.使得对任意的,有不等式都成立,
即恒成立,
由,得.
由,可得,
又在单调递减,故当时,,
从而,解得,
综上,故实数s的最大值为.