2024-2025学年山东省济南市南山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省济南市南山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，设


故选：B.
2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A，，不在的图象上，不合题意；
B，，不在的图象上，不合题意；
C，，在图象上，符合题意；
D，，不在的图象上，不合题意；
故选C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
4. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 5B. 10C. 40D. 80
【答案】C
【解析】，
∴的周长的周长，
的周长为20，
的周长为40．
故选：C．
5. 如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在和中，，
A、∵，∴，故A不符合题意；
B、，∴，故B不符合题意；
C、∵∴，故C不符合题意；
D、，不能判定，故D符合题意．
故选：D．
6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第二、四象限B. 当时，y随x的增大而减小
C. 当时，D. 图象与坐标轴有交点
【答案】B
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，
∴故A选项错误，D选项错误；
∵当时，y随x的增大而减小，∴故B选项正确；
∵当时，，，
∴故C选项错误．故选：B．
7. 如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，在中，，，

则．故选：B．
8. 函数是二次函数时，则a的值是（ ）
A. 1B. -1C. ±1D. 0
【答案】B
【解析】根据二次函数的定义可得：，解得：a=-1，故选择B．
9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
10. 定义：（1）在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．（2）抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的解．若抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于抛物线抛物线，
∴函数的对称轴：直线，
∴M和N两点关于对称，
根据题意，抛物线在M、N之间部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是，1,0，，，2,0，
如图所示：
∵当时，，
∴
当时，，
即：，
解得，，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
注意事项：填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．）
11. 若为锐角，，则________．
【答案】30
【解析】∵，
∴．
故答案为：30．
12. 如图，利用标杆测量楼高,点C，A，B在同一直线上,,垂足分别为A，B.若测得影长米,米,影长米，则楼高为______米．
【答案】12
【解析】由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴楼高为12米，
故答案为：12．
13. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____．

【答案】6
【解析】如图，连接，
轴，，
，
，
反比例函数的图象的一支位于第一象限，
，
，
故答案为：6．
14. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为______．
【答案】．
【解析】四边形为平行四边形，
，平行四边形性质，
，
，相似三角形对应边成比例，
，，，
与同高，
，，
故答案为：3:4．
15. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则_______________．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
解：
．
17. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积V（单位：）的反比例函数，如图所示．

（1）写出这一函数的表达式．
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少?
解：（1）设，
将点代入可得；，解得：，
∴这个函数的解析式为．
（2）当时，有，解得：，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
18. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长．
证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵,
∴，解得：．
19. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到）
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，）
解：（1）在中，，
∴，，
∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）过点E作，垂足为H，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；并写出和的坐标．
（2）求四边形的面积．
解：（1）如图所示，即为所求．
∵与位似，且位似比为，
∴点是的中点，点是的中点，
∵，
∴，，即，．
（2）∵，
∴，
∵与位似，且位似比为，
∴，∴，
则四边形的面积为．
21. 已知二次函数．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
（2）根据图象回答：时，x的取值范围是_____________；
（3）根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________．
解：（1）∵，
∴时，，时，，时，
填表如下：
画出函数图象如图：
（2）由图象可知：时，；
故答案为：；
（3）由图象可知，当时，y的取值范围是；
故答案为：．
22. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
解：（1），
．
，
，
．
（2），，
．
，
，
，．
23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．
（1）点A坐标为______，点B坐标为______；
（2）抛物线顶点坐标为______．
（3）当x满足______时，；
（4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值范围是______．
解：（1）∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线为：，
令， 则，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为：；故答案为：；
（3）观察图象得，当时，；
故答案为：；
（4）由的图象可得：当过抛物线的顶点时，，
此时二次函数的图象与直线有1个交点，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，
则k的取值范围是．
故答案为：．
24. 在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系______；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE=3，请直接写出cs∠EFA的值及线段BC的值．
解：（1）;
理由:∵∠CFE=∠A=90°,
∴EF∥AB,
∴△CEF∽△CBA
∴,
∴,
∵∠ECF=60°，∴，
∴BE=2AF．
（2）①在直角三角形ABC中，，
在直角三角形CEF中， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
②解：，；
理由：∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，
∴,
又∵∠CEF=30°，∠EFC=90°，
∴
∴,
∵∠BCA=∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，
∴∠BEC=∠AFC，
∵B、E、C三点共线，
∴∠BEC=150°，
∴∠AFC=150°，
∴∠AFE=∠AFC-∠EFC=150°-90°=60°，
∴cs60°=；
如图，作DH⊥BE，
∵BD=DE，
∴BH=HE，
∵DH⊥BE，CF⊥EF，
∴DH∥CF，
∴△BDH∽△BCF，
∴,
∴BH=HE=EF
由①知，
∴,
∴BH=HE=EF=AF，
∴△EFA是等边三角形，
∴BH=HE=EF=AF=AE=3，
∴BF=9，tan30°= ，
∴
故．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…