2024-2025学年山东省临沂市沂南县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省临沂市沂南县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了本试卷共120分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一元二次方程方程的根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴或，
∴，，
故选：．
2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
4. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（ ）
A. 点P在圆内B. 点P在圆外
C. 点P在圆上D. 不能确定
【答案】B
【解析】∵，的半径为3，
∴半径，
∴点P与的位置关系为：点P在圆外．
故选：B．
5. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】二次函数，
，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
，
，
，，，
，，
故选：B．
6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设半径为 ，则



在 中，有
，即 解得
故选：D
7. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴新抛物线的顶点为，
∴设新抛物线的解析式为： ，代入得：，故选：C．
8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，故选C．
10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；
③当x>1时，随的增大而减小；
④关于的一元二次方程的另一个根是；
⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入y=ax2+bx+c可得，
，②正确；
该函数图象与轴的另一个交点为，且，
对称轴，
该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当x>1时，随着的增大而减小，
③正确；
，，
关于的一元二次方程的根为，
，
，，
④正确；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 方程有相等的两个实数根，则__________．
【答案】
【解析】根据题意得，解得：，故答案为：
13. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________．
【答案】
【解析】∵是的直径，，，
∴，
∴；故答案为：．
14. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___．
【答案】-4
【解析】观察表格可知，当x=0或2时，y=-2，
根据二次函数图象的对称性，
（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，
对称轴为x==1，顶点（1，-2），
根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4．
故答案为：-4
15. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于________．
【答案】
【解析】由旋转性质可得：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________．
【答案】
【解析】如图，根据题意抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线过点0,4，
∴，
解得：，
∴，
把代入，
解得，
两壁灯之间的距离为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，（第一步）
方程两边同除以，得，（第二步）
∴原方程的解为．（第三步）
①上面的运算过程第__________步出现了错误．
②请你写出正确的解答过程．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或，∴，；
（2）①上面的运算过程第二步出现了错误，
故答案为：二；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
（1）以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称；
（2）请画出绕C点顺时针旋转90°的；
（3）可以通过旋转得到，写出旋转中心坐标_____．
解：（1）即为所作；
（2）如图，即为所作；
（3）如图，旋转中心坐标为．
19. 已知二次函数的图象经过1,0和两点，如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数在范围内的最大值与最小值；
（3）请直接写出不等式的解集．
解：（1）把和代入，得
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为，
∵，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为．
（2）∵，
当时， ，当时， ，
∴，抛物线对轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值，当时，y随x增大 而减小，当时，y随x增大 而增大，
∴当时，最大值为10，最小值为．
（3）由图可知，抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上，
∴不等式的解集或．
20. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接．
（1）若，连，求的度数；
（2）若为的中点，求证：直线是的切线．
解：（1）∵是的直径，是的切线，是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵AB是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴直线CD是的切线．
21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
22. 某校九年级数学学习小组在探究学习的过程中，用两块完全相同的且含角（）的直角三角板与按图①所示的方式放置．现将绕直角顶点按逆时针方向旋转，如图②，与交于点，与交于点，与交于点．

（1）求证：；
（2）当旋转角时，四边形是什么样的特殊四边形？说明理由．
解：（1）由旋转可知，
又由已知可得，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）四边形是菱形，理由如下：
当旋转角时，
∵，∴，
∵，∴，，
则，，∴四边形为平行四边形，
又，∴四边形为菱形．
23. 小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点的坐标为，球在最高点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知某市男子实心球的得分标准如表：
假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分；
（3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有插有一根高1.2米的标杆，该实心球是否有可能砸到标杆，请说明理由．
解：（1）设函数解析式为
∵在此抛物线上，
∴，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）将代入，
解得，
∵掷出的距离为正值，
∴小明掷出的距离是米，得分是分，
即小明在实心球训练中的得分是分；
（3）有可能砸中标杆，理由如下：
将代入，
可得，
∵
∴能砸中标杆．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…

﹣4
﹣2
…
得分
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
掷远（米）
8.5
8.3
8
7.7
7.3
6.9
6.5
6.1
5.8
5.5
5.2
4.8
4.4
4.0
3.5
3.0