2025届安徽省五校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届安徽省五校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，.
故选：C.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由，得，即，
又，
所以，即，
解得.
故选：D.
3. 阅读下段文字：已知“为无理数，若为有理数，则存在无理数，，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A. 是有理数B. 存在无理数，，使得为有理数
C. 是无理数D. 对任意无理数，，都有为无理数
【答案】B
【解析】这段文字中，没有证明是有理数的条件，
也没有证明是无理数的条件，故AC错误；
这段文字，都说明了结论“存在无理数，使得为有理数”，
因此这段文字可以证明此结论，故B正确；
这段文字中只提及存在无理数，不涉及对任意无理数都成立的问题，故D错误.
故选：B.
4. 由，可求得的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
又因为，则，
因为，，
则，
所以，，解得，
故选：B.
5. 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时单调递增，也单调递增，
要使存在，，使，只需，即，不等式无解；
当时单调递减，也单调递减，
要使存在，，使，只需，
，所以，解得，
即的取值范围是.
故选：A.
6. 已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，解得，
由，得，因此图形是以点为圆心，4为半径的圆，
所以得周长为.
故选：D
7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，设点在地面上的正投影为点，

则，,
设山高，则，
在中，，
由余弦定理可得：，
整理得，∴．
故选：D．
8. 若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，已知是奇函数，
当时，一定不是奇函数，故，
则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故，
又因为为奇函数，则有，
即，
即，
所以，即，故.所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】CD
【解析】的虚部是，A错；
，
对应的点是在轴上，B错；
，所以，C正确；
，所以，D正确．
故选：CD．
10. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
【答案】BC
【解析】由图象，体力的最小正周期是三个曲线中最小的，A错；
由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确；
体力周期是23，只要是的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确；
智力曲线处于最高点的天数为，情绪曲线处于最高点的天数为，体力曲线处于最高点的天数为，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D错．
故选：BC．
11. 已知函数，，，，且，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】依题意，，由，得，
则，
显然，有，而，
当时，在上递增；当时，在上递减，
函数，图象如图所示，
，得，BD正确；
令，则，
当时，在上递减；当时，在上递减；
因此当时，单调递减，当时，，
即，又，则，即，A正确；
而，则，即，C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 平面四边形中，，，，，则______.
【答案】58
【解析】,
又,，
所以，
所以，
故答案为：58．
13. 设函数，的图象关于直线和均对称，则的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分）
【答案】（答案不唯一，中的任意两个）
【解析】函数的周期，
依题意，，即，
由的图象关于直线，得，
因此
，的值是集合中元素，可以取.
故答案为：，（答案不唯一， 中的任意两个）
14. 定义在0,+∞上的函数满足，当时，，若在区间0,m内有恰4个极大值点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】,
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在内有且仅有一个极大值点，
即.
因为在内有4个极大值点，则，
即的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，中点，与交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段的长．
解：（1）∵，分别为，的中点，
∴；
（2）设，
∵，分别为，的中点，
所以，
因为三点共线，三点共线，
所以，解得，即，
由已知与平行且相等，因此是平行四边形，
所以，是等边三角形，
所以．
16. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的值域．
解：（1）观察图象知，，，即，
又，且0在的递增区间内，
则，，由，
得，
解得，又且，解得，
因此，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
所以在上的值域为.
17. 已知函数，．
（1）函数在处与处切线分别为，，且直线，之间的距离为，求证；
（2）若为空集，求实数的取值范围．
解：（1）由已知，，
，，，则，
方程为，即，
方程为，即， 则，
要证，即证，即证，即，也即证，
而，所以成立．
（2）由题意无实解，即无实数解，即除0以外无其它实数解，
时，方程为有无数解，不合题意，
时，，而，且时，，因此方程除0以外无其它实数解，满足题意，
时，方程化为，
设，则，
记，则，
当，即时，，是减函数，即是减函数，
又，所以时，，递增，时，，递减，
所以，时，，
所以方程除0以外无其它实数解，满足题意，
当时，有无数解，
设锐角是它解，则，
时，，递增，
又，则时，则，即，
所以递增，而，所以，又，
所以在上有一个零点，即有不是0的根，不合题意，
综上，取值范围是.
18. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且.
（1）求；
（2）求的最大值；
（3）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有．
解：（1）由题意知，，，
则，即，
又，所以，由，
得，由正弦定理得，
由，得，即，又，
所以，由，解得.
（2）由（1）知，得，
所以，即，又为锐角，
所以，得，
当且仅当时，等号成立.
解得，所以，
即的最大值为；
（3）令
，
当时，
，
由，得，
进而①或②，
因为，所以，
由①得，即，
又，
当且仅当即时，等号成立，
所以；
由②得，即，
由对勾函数的性质知，所以.
综上，实数的取值范围为.
19. 已知函数定义域为，．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“点”．
（1）求函数在定义域上的最大“点”；
（2）若函数在上不存在“点”，求的取值范围；
（3）设，且，，证明：在上的“点”个数不小于．
解：（1）函数的定义域为R，
则，由，得，
令，解得；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
即对，当时，都有，
所以函数在定义域上的最大“”点为0.
（2）由函数0,1上不存在"点"，得在上恒成立，
求导得，令，
求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递减，
则，
因此函数在上单调递减，，符合要求；
当时，令，则，
①当，即时，，即在上单调递增，
则，函数在上单调递增，，不符合要求；
②当，即时，恒成立，函数在上单调递减，
则，函数在上单调递减，此时，符合要求；
③当，即时，若，若，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，
若，则在上恒成立，在上单调递减，此时，
若，则存在，使得，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则要恒成立，只需，解得，
由，得，
由，得，
即当时，符合要求，
所以的取值范围是.
（3）若在上的"点"个数为0，则，符合要求；
若在上的"点"个数为，
令在上的"点"分别为，
其中，
若，则若，由，
则，即，
若，由题意，
于是，即，又，则，符合要求；
若，则，
由，则，
若，即，则，若，
依题意，，且，
又，因此，
即，，
即有，
即，
由，得，又，因此，
即在上"点"个数不小于，
所以在上的"点"个数不小于.