2025届四川省仁寿高三(上)一模诊断数学试卷(解析版)

这是一份2025届四川省仁寿高三(上)一模诊断数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】因为，
，
所以.
故选：A.
2. 在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在平行四边形ABCD中，，
而，，
，
.
故选：B.
3. 若某圆台的上、下底面的半径分别为1，3，且该圆台的体积为，则该圆台的高为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为，
设该圆台的高为，则该圆台的体积为，
即，解得.
故选：D.
4. 函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
当x∈1,+∞和时，单调递增，单调递减，
在1,+∞，上单调递减，可排除BC；
当x∈-1,1时，，∴fx图象不关于轴对称，可排除D.
故选：A.
5. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ）
A. B. 2C. 6D. 4
【答案】C
【解析】由题意知，正项等比数列的前3项和为21，
且，
则，解得.
故选：C.
6. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
则，所以曲线在点处的切线方程为，
令，得；令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：B.
7. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
则，，下面比较与的大小，
即比较与的大小，
即比较与大小，
即比较与的大小，而，
则，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，是方程的两个根，则（ ）
A. 为纯虚数B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】方程，，
方程的根为，
即方程的根为，，
不妨设，，则为纯虚数，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递增D. 在上恰有10个零点
【答案】ABD
【解析】由图可知，，，即，
又，则，故A正确；
此时，
又，且，则，故B正确；
此时，
当时，，
因为函数在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
当时，，
因为函数在上有10个零点，
所以在上恰有10个零点，故D正确.
故选：ABD.
11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ）
A.
B. 二面角的余弦值为
C. 正四棱锥的外接球的表面积为
D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
【答案】BCD
【解析】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.
因为，所以异面直线与所成的角即，则.
设，则，，，则，
所以正四棱锥的体积为，
解得，所以，故A错误.
在正方形中，由于，为的中点，
所以，则为二面角的平面角，
所以，故B正确.
设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，
由，得，解得，
所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.
因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.
过点作，垂足为，
因为平面，且平面，
所以，又，且平面，
所以平面，又平面，
所以，又，且平面，
所以平面，则为直线与平面所成的角，
则，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若钝角满足，则______.
【答案】5
【解析】由题意，，则，所以，
由，解得.
13. 已知是奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】由是奇函数，得函数关于对称，
又当时，，则.
14. 在如图所示的方格表中选5个方格，则这5个方格的数中恰有2个11的概率为______，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为______.
【答案】
【解析】由题知表中共有25个数，其中包含3个11，
所以任选5个方格，其中恰有2个11的概率为.
根据题表知每列数字最大值都在最后一行出现，
根据题表可得出每列数字与此列中最大数的差的绝对值，如下表：
按要求每行和每列都恰有1个方格被选中，若被选方格的5个数之和最大，则差的绝对值之和最小，
所以要使得5个数之和最大，则这5个数可以为11，23，31，41，51，
此时和为，即和的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求外接圆的直径.
解：（1）因为，
由正弦定理得，，
不妨设，，
则由余弦定理得，，
又，则.
（2）设外接圆的半径为，
由题意，，即，
由（1）知，设，，
则，解得，
则，所以，
则外接圆的直径为.
16. 如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点.

（1）证明：平面ABCD.
（2）若，求点N到平面AMF的距离.
（1）证明：因为，，都垂直于平面，则.
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）解：连接.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，，，，
可得，，.
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，得，，可得.
故点到平面的距离.
17. 在递增的等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设的公差为，因为数列是等差数列，
所以，由解得，
所以，所以.
（2）由（1）可得，
则①，
②，
①-②得
则.
18. 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为
表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
（1）求的分布列；
（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个?
解：（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14，
则，
，
，
，
，
，
，
则的分布列为：
（2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280，
则，，
，
，
，
则.
记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160，
则，，
，
，
，
显然，
所以应选择.
19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.
（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
（2）对任意x，，函数，都满足.
①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.
②若，证明：当时，.
参考数据：，.
解：（1）由可得，
由可得，解得，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，
（2）由可得对任意x，，恒成立，
所以存在常数，使得,
令，则，且，
解得，
①，则，
由于“缺陷偶函数”，故，
即，即，
则，得，
，
由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有两个极值点.
②若，即，则，故，
当时，要证，只需要证. ，
因为，故，
只需证，
令，
当单调递减，当单调递增，
故，
所以，从而，故，
时，得证.10
21
30
41
50
11
20
30
40
49
10
19
29
40
51
11
20
31
39
50
11
23
32
43
52
1
2
2
2
2
0
3
2
3
3
1
4
3
3
1
0
3
1
4
2
0
0
0
0
0
4
5
6
7
0.3
0.2
0.4
0.1
8
9
10
11
12
13
14
0.09
0.12
0.28
0.22
0.2
0.08
0.01