2025届陕西省商洛市高三(上)第一次模拟检测数学试卷(解析版)

这是一份2025届陕西省商洛市高三(上)第一次模拟检测数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以．
故选：D
2. 已知集合，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由题意可得，解得．
故选：B.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，所以．
因为，所以，解得．
故选：A
4. 已知是实数，则“且”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由且，得，反之，不成立，如取满足，而且不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件．
故选：B
5. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥外接球的半径为，则，所以，故四棱锥外接球的体积．
故选：C
6. 已知函数，且是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数为奇函数，即，
且函数的定义域为，所以，，
可得，解得，
所以，，
则为奇函数，合乎题意.
因此，.
故选：A.
7. 已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
设Ax1,y1，Bx2,y2，联立整理得，
则，解得且，
，，
所以
，
因为，所以，即，解得．
故选：C.
8. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，故是奇函数．
不等式等价于不等式
即不等式
因为是奇函数，所以
易证是上的减函数，则，即，解得．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，这是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（ ）

A. 这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分
B. 这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等
C. 这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低
D. 这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分
【答案】ABC
【解析】由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8，10）内，
在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分，
在安全性方面的综合评分在（6，8）内，
在易用性方面的综合评分是10分，故A，B，C正确，D错误．
故选：ABC
10. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 外接圆的面积是
C. 的面积的最大值是D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故A项错误．
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得，即①．
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得，则，，
所以
又因，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故D项正确．
故选：BCD.
11. “曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（ ）
A. 若点，，则的值可能是
B. 若点，，则在轴上存在点，使得
C. 若点，，，则在线段上存在点，使得
D. 若点在圆上，点在直线上，则的值可能为
【答案】BD
【解析】对于A，，不可能为，A错误；
对于B，设，则，
（当且仅当时取等号），
，在轴上存在点，使得，B正确；
对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，

，
直线斜率，，即，，
；
当点与点或点重合时，；
恒成立，C错误；
对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，
此时，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若椭圆的离心率是，则______.
【答案】
【解析】由题意可得，解得.
13. 如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是______平方分米．
【答案】
【解析】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米，
则该水泥墩的表面积为平方分米．
14. 已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______
【答案】
【解析】由，即，得.
因为，所以.
设，则.
因为，所以，所以在上单调递增.
因为，所以，
所以，所以，所以.
设，则.
由，得，则在上单调递减；
由，得，则在上单调递增.
故，即.
四、解答题：本题共5小题，共？7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．
（1）求比赛进行四局且甲获胜的概率：
（2）比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．
解：（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，
则所求概率
（2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5．
则的分布列为
故．
16. 如图，在长方体中，分别是棱的中点．

（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
（1）证明：取棱的中点，连接，
因为分别是棱的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，且，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
因为是棱的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）解：由题意可知两两垂直，则以为坐标原点，
以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
故，
设平面的法向量为
则，令，得，
设平面的法向量为
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
故，
即平面与平面夹角的正弦值为．

17. 已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值．
解：（1）由题意可得，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线的斜率之积为3，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线
联立整理得
则
所以．
因为，所以，
所以
即
化简得，故．
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离．
因为，所以，所以，
即点到直线的距离的最大值是．
18. 已知函数，满足，.
（1）若为上的增函数，求的取值范围.
（2）证明：与的图象关于一条直线对称.
（3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围.
（1）解：由，可得，
因为为上的增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，所以对恒成立，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以，所以的取值范围为.
（2）证明：因为，，
所以
即，所以，
函数关于对称的函数为，
再把向右方平移2个单位得到，
所以函数与关于对称；
（3）解：由（2）可得，
又因为在内有解，
所以在内有解，
所以在内有解，
由（1）可知时，为上的增函数，
所以，所以在内有解，
令，求导可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，又，，
所以，
所以的取值范围为.
19. 已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”．
（1）若，判断数列是否为“封闭数列”；
（2）已知递增数列为“封闭数列”，求；
（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：等比数列．
解：（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
因为和均不是中的项，
所以数列不是“封闭数列”．
（2）由题意数列递增可知，则不是中的项，
所以是中的项，即．
因为，所以都是中的项，
所以，得，
由，得，所以．
（3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项，
所以是中的项，即．
因为不是中的项，所以是中的项，
所以．
因为共有项，
所以①，
类似地，，则不是中的项，
所以是中的项，
，
所以②，
由①和②得，
所以是首项为1的等比数列．3
4
5