2025届河南省部分学校高三(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2025届河南省部分学校高三(上)期中联考数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
2. 已知为实数，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为实数，
则，∴
故选：B.
3. 命题“若，则”的否定是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 存在一个实数，满足，但
D. 对任意实数，满足，但
【答案】C
【解析】命题“若，则”的否定是存在一个实数，满足，但.
故选：C
4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．
5. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）．
A. 4.5mB. 4.0mC. 3.5mD. 3.0m
【答案】B
【解析】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系：
根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：；
因为筒转动的角速度为，故；
又；，解得，则；
又当时，，则，，则；
故当时，.
故选：B.
6. 数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（ ）
A. 5B. 7C. 7或8D. 6或7
【答案】D
【解析】由，得当时，数列递减，当时，数列递增，
由，得，因此，当时，，
所以当该数列前项和取得最小值时，的值为6或7.
故选：D
7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
，
因此，所以.
故选：C
8. 若直线通过点，则下列结论错误的是（ ）
A. 当且时，存在唯一的值，使得
B. 当且时，存在两个值，使得
C. 当且时，无最大值
D. 当时，存在无数个值，使得
【答案】C
【解析】当时，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
对于A，当时，直线，点到直线的距离，
直线与圆相切，因此值存在且唯一，A正确；
对于B，当时，直线，点到直线的距离，
直线与圆相交，因此值有两个，B正确；
对于C，当且时，，函数在上单调递增，
函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
当且仅当时，函数取最大值，因此有最大值，C错误；
对于D，由选项C知，当，时，，使得的所有角均有，即；
当，时，，令，取点，
直线的斜率，而每个点，存在唯一点，
因此存在无数个值，使得，D正确.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则该方程表示圆，其半径为
C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
D. 若，，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，，
方程表示椭圆，其焦点轴上，A正确；
对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误；
对于C，当时，，，
方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确；
对于D，，，方程表示两条直线，D正确.
故选：ACD
10. 记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的最小值为
B. 若的图象关于直线对称，则
C. “”是“为等边三角形”的充要条件
D. “”是“为等边三角形”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，当或时，取最小值0，A错误；
对于B，当时，图象的对称轴为，不符合题意；
当时，图象对称轴，不符合题意；
当时，图象对称轴，由，得，B正确；
对于CD，为等边三角形，则，；
取，，此时，而是不是等边三角形，
所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，C错误，D正确.
故选：BD
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象与函数的图象只有一条公切线
B. 函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上
C. 当时，恒成立
D. 函数的图象与函数的图象和直线分别交于，两点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，设直线与函数的图象相切于点，
与的图象相切于点，，
因为，，所以，，
则，消去得，，
令，则，
设，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，且时，，
所以存在，使得，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以方程有两个不相等的实数根，
则函数的图象与函数的图象有两条公切线，故A错误；
对于B，函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，
所以函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上，故B正确；
对于C，由，得，
由于，则，
设，，则，
因为函数和在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
所以当时，恒成立，故C正确；
对于D，由，，
设，，其中，且，
所以，设，
则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，则____________.
【答案】
【解析】已知，，则.
已知，，则.
. ，.
.
故答案为：.
13. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），
∵A（a，0），
∴=（﹣，），=（，﹣），
∵，
∴﹣=，
∴b=2a，
∴c2﹣a2=4a2，
∴e2==5，∴e=．
14. 某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么从正式生产这款产品算起，在第__________个月，月不合格品的数量达到最大.
【答案】5或6
【解析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，bn．
由题意，知，
，其中，2，…，24，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
．
由通项公式列表，
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，
由，得．
所以，当时，单调递减．
所以在第5或6个月，月不合格品的数量达到最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，当取得最大值时，求的面积.
解：（1）在中，由及正弦定理，得
，
因此，
所以.
（2）由（1）知，，
则，当且仅当时取等号，
因此当，，即时，取得最大值，
此时，由，得，所以的面积.
16. 已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且.
（1）求的解析式；
（2）求（1）中的在上的极值.
解：（1）因为，，
所以，
又因为，所以
，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
由题可得，
当时，在上单调递减，
所以没有极大值，也没有极小值；
当，在上单调递减，在上单调递增，
所以在时有极小值，为，没有极大值.
综上所述，当，没有极大值，也没有极小值；
当，有极小值为，没有极大值.
17. 已知数列是等差数列，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，证明：中的任意不同的三项均不能成等比数列.
解：（1）设等差数列的公差为，，，
依题意，解得，
所以.
（2）设等差数列的公差为，，，
则，解得，
所以，
假设存在，且两两不相等，使得，
所以，
，
，
由于两两不相等，上式两边不同时为，且是整数，
是无理数，两边不相等，所以假设不成立，
所以中的任意不同的三项均不能成等比数列.
18. 已知函数，.
（1）求的单调区间与极值.
（2）当且时，证明：.
（3）设函数，若和的图象有两个交点，求实数的取值范围.
解：（1）首先对求导，得，
令，即，解方程，得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
那么在处取得极小值，
故函数的单调减区间为，单调增区间为，函数极小值为，无极大值；
（2）设，对求导得,
由（1）知在单调递增，
因为，且，所以,
又因为，所以，即,
所以在上单调递增，，即；
（3）因为，和的图象有两个交点，
所以方程有两个解，
整理得，
当时，，显然无解.
当，参变分离，即.
设，导数.
令，即，因为，，所以，解得或.
当时，，，函数单调递增.
当时，，，函数单调递减.
当时，，，函数单调递减.
当时，，，函数单调递增.
当时，.
当时，.
当时，；当时，；
当时，；
当时，且.
因为函数与直线有两个交点.
所以
19. 已知平面内的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长度为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；
（3）求出到两条线段，距离相等的点的集合，其中，，，，.
解：（1）设是线段上一点，
则，
当时，.
（2）设线段的端点分别为，不妨取，点集由如下曲线围成，
其面积为.
（3）根据题意，可得线段AB,CB的方程分别为
设，根据定义：
若，则不可能成立，若，
则恒成立，此时；
若，只有时符合题意，此时；
若，只有时符合题意，此时；
若，只有时符合题意，此时；
综上，
.n
1
2
3
4
5
6
7
105.0
105.8
106.5
107.0
107.2
107.2
106.9
n
8
9
10
11
12
13
14
106.4
105.5
104.2
102.6
100.6
98.1
95.0