2025届河北省唐山市玉田县高三(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届河北省唐山市玉田县高三(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，其中满足，
故.
故选：B
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，解得，
故选：A.
3. 若与均为定义在R上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为与均为定义在R上的奇函数，
所以，
又因为的定义域为R且关于原点对称，
且，
所以hx为偶函数，
故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B，
故选：B.
4. 当时，函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，解得，或，
又，则，
故，解得，或，
即的取值范围是.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
同时除以，得，
即，
故选：C.
6. 设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设，，
若在复平面内对应的点位于第一象限，则，
则，
所以的实部，虚部，故对应点在第二象限，
所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”；
若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知，
所以3a5b<0-a5b>0且，可得a>0，所以在复平面内对应的点位于第一象限，
所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”；
由上可知，属于充要条件，
故选：C.
7. 函数的所有零点的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标.
对于函数，其最小正周期为，
当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,
当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.
类似可得函数在区间上的图象变化情况.
如图分别作出和在上的图象如下.
由图可知，两函数在上的图象关于直线对称，
故两者的交点与也关于直线对称，
故

即函数的所有零点的和为
故选：C.
8. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以在0,+∞上均单调递增，
所以，即，
对于，构造函数，
易知时，f'x>0，即此时函数单调递增，则，
所以，
因为在0,+∞上单调递增，所以，
综上.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，是方程的两个根，则（ ）
A. 为纯虚数B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】方程，，
方程的根为，
即方程的根为，，
不妨设，，
则为纯虚数，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ）
A. 的面积为B.
C. 先增后减D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】取中点，连接，则，且，
所以的面积为A正确.
过作，垂足为，设与交于点，
由等面积法可得，则由，
得，
则，
所以，
则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，B错误，C，D均正确.
故选：ACD
11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】由，，
则不等式，
令，
则，
又，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
则，
当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当，
即时，等号成立；
故，
当且仅当时，等号成立；
所以，解得，
因此可得的最小值为，的最大值为，
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. ___________.
【答案】
【解析】原式.
13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________.
【答案】
【解析】由题可知.
由可得：
，
则，
解得.
14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设Px,y，是中点，
则,
由可得,故，
所以
，
故当时，取到最小值，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在上的值域为.
（1）求；
（2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间.
解：（1）因为，所以，
令，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，且，所以.
（2）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得，
的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；
令，
所以，
所以的单调递增区间为().
16. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
解：（1）由，可得，
即，
所以，
，因，
所以，又，所以．
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立．
故△面积最大值为．
17. 如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.

（1）忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值；
（2）设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用.
解：（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为，
则圆锥的体积，圆柱的体积，
则该容器的容积，，
由，，则，
则，
则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米），
即该容器的容积的最大值为立方分米.
（2）由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米，
则圆锥与圆柱的高为分米，
则圆锥的侧面积（平方分米），
圆柱的侧面积（平方分米），
则该容器的表面积为（平方分米），
又（元），
则需要的铁皮的总费用为元.
18 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围；
（3）若，、，且，，求的最小值．
解：（1）当时，，，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即．
（2）由，得，
令，其中，
则，其中，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增．
所以，，所以，则的取值范围为．
（3）因为、，且，，
所以，
设函数，则，可得在上单调递减，
所以在上恒成立，即对时恒成立．
设，则．
设，则，令，解得．
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增．
，，
当时，，
，则，，
所以存在，使得，即．
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值．
，
当时，，
又整数，所以的最小值为．
19. 设函数的定义域为D，若，，则称为“循环函数”.
（1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由.
（2）已知函数，证明：存在常数C，使得为“循环函数”.
（3）已知对任意，函数，都满足.
①证明：为“循环函数”.
②若，证明：当时，.
提示：设，当时，.
解：（1）由题可知，当时，fx=e-x-1>0，
所以此时，
当时，，此时，
当时，，所以此时，
故满足，所以fx=e-x-1,x≤0-lnx+1,x>0是“循环函数”.
（2）由题可知，
显然，，
易知的定义域为，要使任意满足，
则，
所以不妨令，
则，
此时，
故存在常数C，使得为“循环函数”.
（3）因为，
可得，
化简得，
故，
因为，
不妨令得，
即，
①因为，
所以，
故为“循环函数”；
②由，得，
所以，
要证g(x)>lnx3-x2，
即证x2+x-3>lnx3-x2=2lnx+lnx-1，
即证x2+x-3-2lnx-lnx-1>0，
我们不妨设，
显然，
则，
显然当时，h'x<0，此时hx单调递减；
当时，h'x>0，此时hx单调递增；
故,
设,
所以，,
显然当x∈0,1时，，此时单调递减，
当x∈1,+∞时，，此时单调递增，
故,即,
所以2-1-ln2-1-ln2≥1-ln2>0,
即hx=x2+x-3-2lnx-lnx-1>0,即g(x)>lnx3-x2.