2025届广东省佛山市禅城区高三统一调研测试(一) 数学试卷(解析版)

这是一份2025届广东省佛山市禅城区高三统一调研测试(一) 数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】因，所以，
故选：B.
2. 已知，且（ ）
A. BB. C. D.
【答案】D
【解析】由可得.
故选：D.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B
4. 抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况，
所以概率.
故选：A
5. 已知是奇函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 4
【答案】A
【解析】因为是奇函数，
设，则，所以，
即，
所以，即，则.
故选：A.
6. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，且，
所以，
解得，
所以，，
故选：A
7. 已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，

设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，
由下底面的面积为，则，
圆台的体积，
即，解得或（舍），
设，
和中，，，两式联立，
解得，，
所以圆台外接球的表面积为.
故选：C
8. 设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
因为时，，故当时，，
故在上单调递增，且．
因为，故，
即，所以，
故关于直线对称，故在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
所以使得成立的的取值范围是.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，，D. ，，
【答案】BD
【解析】对于A：，，，也可能平行，故错误；
对于B：若，，则，正确；
对于C：，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故错误；
对于D：由，，可得：，再由，可证，故正确.
故选：BD
10. 已知，，且，则（ ）
A. 的最小值为18B. 的最小值为36
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由于，即，
则，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为18，故A正确；
对于B，由，当且仅当且时等号成立，
显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；
对于C，由于，所以有，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为，故C正确；
对于D，因为，，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 1是的极大值
B. 当时，
C. 当时，有且仅有一个零点，且
D. 若存在极小值点，且，其中，则
【答案】ABD
【解析】由题意可得，，
令，当时，得或．
对于A，当时，在和0,+∞上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值；
当时，在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值；
当时，，在上单调递增，在0,+∞上单调递减，所以在处取得极大值，所以A正确；
对于B，当时，在上单调递增，又，因为，所以，所以B正确；
对于C，当时，在上单调递增，由于，所以在上存在唯一的零点且小于0；
若，则的极小值，即在0,+∞上没有零点，所以有且仅有一个零点且小于0，所以C错误；
对于D，若存在极小值点，则，即，
因为，所以，
所以，，即，
又，所以，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知的三个顶点分别为，，，且，则______．
【答案】5
【解析】由，，得，，
因为，所以，则，得，解得.
故答案为：.
13. 若直线与曲线相切，则________．
【答案】
【解析】设直线与曲线相切于点，
求导可得，因此切线斜率，
又切线过原点，可得，
化简可得，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，即可得，
因此可得，即可得.
14. 已知函数在上单调，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设的最小正周期为，且，
因为在上单调，则，可得，
又因为，且，可知为的对称中心，
不妨设，如图所示：
依次讨论对应为点，A，，种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多，
若对应为点，则为的对称轴，
且，则，，满足，
且此时为最小值，所以取值的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长．
解：（1）由题意知：，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周长为．
16. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占．
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
（2）该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望．
附：
参考公式：，其中．
解：（1）由题意可知，
假设：市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）的可能取值为1，2，3，4，5，6．
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，所以，，，
，，
所以的分布列为：
所以．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

（1）求证：平面平面；
（2）若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
（1）证明：在底面中，因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，，平面，
所以平面
又因为平面，所以平面平面
（2）解：取中点，连接，．
因为，且，所以四边形为矩形．
即平面，
又因为在中，，所以，，两两垂直．
以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，
设，则，，．
设平面的法向量m=x,y,z
则，
令，可得，即，
因为平面，所以平面的法向量，
所以．
化简得即，
解得或（舍），即．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存、在，满足，证明：；
（3）对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围．
解：（1）的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，令，得或（舍去），
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）方法一：当时，，由，
得，即
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，得证．
方法二：当时，，，
由（1）知时，在上单调递增，
当时，可证．
不妨设，要证，即证，即证，
因为，所以即证．
令，其中，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以，所以．
当时，因为，所以，
所以，所以．
综上，．
（3）方法一：，由，
得，即，
所以对任意的，恒成立，
等价于，
由于，事实上，令，，
时，；时，；所以，
所以，即．
所以，
当且仅当时，等号成立（方程显然有解），
即，所以．
所以的取值范围是．
方法二：，由，得，
即，所以对任意，恒成立，
等价于
令，
则，
令，则，所以在上单调递增，
又，，所以，
所以存在，使得，
所以，即，所以，
所以，
令，，所以在上单调递增，
因为，所以
又时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围是．
19. 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和．
（1）若数列，，，
①写出，；
②求数列的前项和；
（2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值．
解：（1）①因为的正因数有1，3，9，
所以，；
②由题意可知：的正因数有，
则，，
可得，
所以．
（2）为素数，
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，，；
的正因数组成的集合为，
则，
，
所以，．
因为，所以，，，
由（2）知，，
则，，，
所以．满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
上班族
15
40
55
非上班族
35
10
45
合计
50
50
100
1
2
3
4
5
6