2024-2025学年山东省青岛市市北区九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省青岛市市北区九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：
本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第I卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A：满足一元二次方程的定义，符合题意；
B：含有两个未知数，不符合题意；
C：未知数的最高次数是１，不符合题意；
D：是分式方程，不符合题意；
故选：A
2. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形.测得,，则此菱形周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是菱形，
，
（），
（），
，
在中，根据勾股定理，可得：
（），
菱形的周长
（），
故选：．
3. 如图，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】， ，
又∵，，，，．
故选：C．
4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A. 一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球
D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
【答案】A
【解析】由折线统计图可知，该实验中事件发生的概率约为0.5，
A、一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率为=0.5，符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
C、袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球的概率为，不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为= ，不符合题意，
故选：A．
5. 如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵由图可知，，，
∴，，
A选项中三角形各角的度数不能确定，
B选项中三角形各角的度数分别为，，
C选项中三角形各角的度数分别为，，，
D选项中三角形各角的度数分别为，30°，，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
6. 某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意得，，
故选：D．
7. 如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，，
∴，
如图，作于，
∴cm，
cm，cm，
∴cm，
∴cm，
故选：C．
8. 如图，矩形中，，对角线、交于点,平分交于点,为上一点,为延长线上一点,连接、,的延长线交于点.交于点,且，以下结论：①，②是等边三角形，③；④，⑤其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③④B. ①③⑤
C. ②④⑤D. ①③④⑤
【答案】A
【解析】四边形是矩形，
，
，
，
，
，，故①正确；
为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
，
，
不是等边三角形，故②错误；
如图，延长交于点，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，故④正确；
，
四边形平行四边形，
，
，
，
平分，
，
又，
，
，
，故③正确；
不妨设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
故正确的有：①③④，
故选：A．
第II卷（共96分）
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 已知 ，则的值为___________．
【答案】
【解析】，
，
，
故答案为：．
10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，
，且，解得：，且，
故答案为：且．
11. 在不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外均相同．随机从袋中摸出一个小球后放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________．
【答案】
【解析】列表得：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的求都是红色的共有1种，
∴两次摸到白球的概率是，
故答案为：．
12. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽的长为 _____．
【答案】1.6
【解析】∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：1.6．
13. 如图，已知正方形，，在上，，连接交于，图中阴影部分面积是_________．
【答案】
【解析】∵正方形，
∴，，
如图，过作于，交于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

【答案】
【解析】由题意知 米，
，
，
米，
故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，
故答案为：．
15. 如图,点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是________cm．
【答案】
【解析】∵°，°，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵在中，是线段的中点，
∴，
∴，即：，
∴当时，取最小值为， 此时取最小值，
故答案为：．
三、作图题：（本题满分4分）
16. 如图，已知：线段和．求作：菱形，使对角线，．
解：如图，菱形即为所求，使对角线，．
四、解答题（本题满分71分，共有8道小题）
17 解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1），
，
，
，
解得，，；
（2），
，
∴，
解得，，；
（3），
，
∴，
解得，．
18. 如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由．
解：∵矩形的长为，宽为，
∴长：宽，
∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为，
∴长：宽，
∵，对应边不成比例，
∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似．
19. 某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目．
现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、D作为代号），洗匀：
（1）从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为________；
（2）从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和D的概率．
解：（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“体操”的概率为，
故答案为：；
（2）用树状图法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是是B和D的有2种结果，
所以两次抽取的卡片图案上是是B和D的的概率为．
20. 如图，点、在线段上，△是等边三角形，．
（1）证明：；
（2）线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）∵等边三角形，
∴，，
∴；
∵，即：，
∴，，
∴，,
∴；
（2）结论：．
∵，
∴；
∵，
∴，，
又∵，
∴
21. 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论．
解：（1）在和中，
∴，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴；
（2）四边形是矩形，理由：
由（）得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，，，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
22. 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价：
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
解：（1）设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，
根据题意可得：解得：
答：甲、乙零售单价分别为2元和3元
（2）根据题意得出：，即．
解得或（舍去），
答：当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元．
23. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下：
（1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度．
（2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________．
拓展：
根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？
如：求方程的正根：
类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形：
需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块；
需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块；
请直接写出方程的正根________．
解：（1）∵，
∴作图如下；
（2）由题意知，，即，
∴方程的正数解是，
故答案为：4；
（3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；
∴，
∴方程的正根，
故答案为：1，3，3，1，7．
24. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）四边形是菱形时，求的值；
（2）为何值时，点在边上；
（3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，
∴；
（2）如图，由（）得：四边形是平行四边形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，设AD与交于点，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴
，
∴与之间的函数关系式为；
（4）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时，，整理得：，
解得：（舍去）或；
当时，，整理得：
解得：（舍去）或；
综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或．
第一次
第二次
红
绿
白1
白2
红
红红
绿红
白1红
白2红
绿
红绿
绿绿
白1绿
白2绿
白1
红白1
绿白1
白1白1
白2白1
白2
红白2
绿白2
白1白2
白2白2
探究：一元二次方程的几何解法
通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程：
解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形．
根据图③可以得到：________；
所以，方程的正数解________．
几何法求解一元二次方程，只能得到正数解．