2025届江苏省南通市启东、通州联考高三(上)11月期中质量监测数学试卷(解析版)

这是一份2025届江苏省南通市启东、通州联考高三(上)11月期中质量监测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由，，得，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，解得，即，
则.
故选：B.
3. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】由，得，
而，
因此，所以.
故选：C.
4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，，因为函数的奇函数，所以，
则，
若函数在上单调递减，所以，得.
故选：A.
5. 从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）
A. 15B. 40C. 55D. 70
【答案】C
【解析】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种，
所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为.
故选：C.
6. 一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为（ ）
A. 25cmB. 75cmC. 100cmD. 150cm
【答案】B
【解析】设四棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为，
所以，解得：
故选：B.
7. 当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】对于A，当时，函数与在内的图象如图，
它们有2个交点，A不是；
对于B，当时，函数与在内的图象如图，
它们有4个交点，B是；
对于C，当时，函数与在内的图象如图，
它们有6个交点，C不是；
对于D，当时，函数与在内的图象如图，
它们有8个交点，D不是.
故选：B.
8. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A. -7B. 25C. 57D. 102
【答案】C
【解析】，
，
.
所以，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 的系数为10B. 第4项的二项式系数为10
C. 没有常数项D. 各项系数的和为32
【答案】BC
【解析】展开式第项，
，
对A，令，即时，，的系数为，A错；
对B，第4项的二项式系数，B对；
对C，因为，则展开式无常数项，C对；
对D，时，各项系数和不是，则D错，
故选：BC.
10. 在长方体中，，，点P是底面上的一点，且平面，则（ ）
A. B. 平面
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，故，A正确；
B选项，，
所以与不垂直，则平面不成立，B错误；
C选项，设，，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，
令得，，所以，
因为平面，所以与垂直，
即，
故，
，
故当时，取得最小值，最小值为，C正确；
D选项，由C选项，，即点在直线上，
由勾股定理得，故四边形为正方形，
将矩形和等腰直角沿着折到同一平面内，如图，
连接，与的交点即为使得最小的点，
的最小值为，过点作⊥，交于点，
故，
由勾股定理得，D正确.
故选：ACD.
11. 如图，函数的部分图象，则（ ）

A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，
而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，
当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如果随机变量，且，那么________.
【答案】
【解析】由对称性可知，正态密度曲线的对称轴为5，
所以，
所以.
13. 如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________.

【答案】
【解析】过点分别作分别垂直于点，

则，，又，
所以，所以，
所以平行四边形的面积和长方形的面积相等，
设，，
则，，，
所以，
所以四边形的面积，
所以
，
因为，所以，
故当即时，面积取得最大值为.
14. 已知函数，若，，则正整数a的最小值为______.
【答案】5
【解析】依题意，，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负无穷大，而当时，，则必有在上恒成立，
于是且，则，，
求导得，当时，，在上单调递增，
若，即时，，令，
求导得，函数在上单调递减，，即不符合题意；
当，即时，恒成立，则，
令，，
由恒成立，得，
则，又，因此正整数，
又当时，函数在上单调递增，，，符合题意，所以正整数a的最小值为5.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若函数的图象关于点对称，求的值.
解：（1）当时，，
求导得，
由，可得，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
（2）由函数的图象关于点对称，得，
，
整理得，又，
于是，则，解得，
所以.
16. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求B；
（2）若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值.
解：（1）因为，
所以，
又因为在中，所以，所以，
所以，
所以，即.
因为，所以.
（2）法一：在中，，，所以，
设，则.
所以，，所以，
因为，
所以，
所以
，
所以当，即时面积的最大值为.
法二：在中，已知，
所以，所以，
所以，
所以，（等号当时取得）
所以面积的最大值为.
法三：在四边形的外接圆内考虑，因为，，则，
则的外接圆直径为，
是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，
此时最大距离为圆心到距离加半径2，
在直角三角形中可知，圆心到距离为，所以高的最大值为，
所以面积的最大值为.
17. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了的前6个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.
（1）求密码中两个1不相邻的概率；
（2）若密码的前三位出现1的次数为X，求X的分布列和数学期望.
解：（1）依题意，的前6个数字的不同排列有种，两个1相邻的有种，
所以密码中两个1不相邻的概率.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布为：
数学期望
18. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离.
（1）证明：取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形，
由，得平行四边形为矩形，则，
由平面平面，平面平面，平面，得平面.
又平面，则，由，，得，
由，，得，则，即，
而，平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）解：由，，，平面，
得平面，平面，则，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设与平面所成角为，，
即与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设截面交于，由，面，面，得平面，
又平面，平面平面，则，
依题意，，则，
设，则，
，
，，
到的距离，
截面的面积为，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，取，得，
则到平面的距离，
于是，解得，
所以点到截面的距离为.
19. 已知函数及其导函数f'x的定义域都为R，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“=”成立，则称函数满足“性质”.
（1）判断是否满足“性质”，并说明理由；
（2）若f'x是单调增函数，证明：满足“性质”；
（3）若函数满足“性质”，求实数的取值范围.
解：（1）满足“性质”，理由如下：
因为，设曲线的一条切线切点为，
则直线的方程为：，
因为，
当且仅当时“”成立，
由的任意性可知，满足“性质”.
（2）设直线是曲线的任意一条切线，切点为，
则直线的方程为：，
设，则，
因为是单调增函数，
则当时，，递减，；
当时，，递增，；
即对任意，都有.
由的任意性可知，函数满足“性质”.
（3）①当时，
因为，设，
因为，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
由（2）可知，函数满足“性质”.
②下证当时，函数不满足“性质”.
方法一：设直线与曲线切于点，
则直线的方程为：，
设，根据“性质”的定义，要证不满足“性质”，
只要证存在.
因为，
设，则，
设，则递增，且，
所以当时，，递减；
当时，，递增；
因为，，
所以存在，使得，且当时，，
取，则当时，，递减，即递减，
此时，，在上递减，所以，
所以当时，函数不满足“性质”.
综上，实数的取值范围为.
方法2：考虑曲线在处的切线.
，导函数，
在上单调递增，，，
所以存在，使得，
所以时，，单调递减，
又，所以时，，单调递减，
又，所以时，，
即不恒成立，
所以当时，函数不满足“性质”.
综上，实数的取值范围为.0
1
2