2024-2025学年山东省菏泽市定陶区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市定陶区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形对应边的比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为．
故选：C．
2. 下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）
A. 有一个角是35°两个等腰三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 有一个角是120°的两个等腰三角形D. 两个等边三角形
【答案】A
【解析】A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是45°，
而另一个等腰三角形的顶角是45°，则两个三角形一定不相似；
B、因为其三个角均对应相等，
所以一定相似；
C、各有一个角是120°的两个等腰三角形，120°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
D、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似．
故选A．
3. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，则∠B的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】∵在RtABC中，∠C＝90°，，
∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
故选：C．
4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
5. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】否定结论：，则应假设：，
故选：C．
6. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵弦于点E，cm，
∴cm．
在中，cm，
∴．
故选：C．
7. 如图，为了测量某电子厂高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，，∴
∴设，则
在
∴，即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
8. 如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，则，
∵，∴，∴，
故选：．
9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A. 25 mmB. 20mmC. 15 mmD. 8mm
【答案】A
【解析】如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，又EF=20，
∴，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BEDF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时， 点B到达C， 当点A运动到F时，点B到达D； 若，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③当与相切时，；④当时，
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】如图，由题意可得：
，
∴，故①正确；
，故②错误；
如图，当与相切时，，
∴，
∴，故③正确；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故④错误；
正确的有2个，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形．
【答案】八
【解析】设边形的内角和为，
∴，
解得，，
由相似的性质可知，这个多边形的位似图形是八边形，
故答案为：八．
12. 用表示这三个数中最小的数，则___________．
【答案】
【解析】，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
13. 如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为__________．
【答案】
【解析】，
，．故答案为：．
14. 如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 ____________________海里．
【答案】
【解析】过点作，垂足为，
由题意得：，，
，在中，海里，
（海里），（海里），
在中，（海里），海里，
轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
【答案】或
【解析】根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中：
①当时，，那么有：，解得，
即当时，；
②当时，，那么有：，解得，
即当时，；
所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
16. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．

【答案】
【解析】∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
．
（2）原式．
18. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
解：（1）∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
19. 如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝ ．
（1）求点P的纵坐标；
（2）求∠α的正弦值、余弦值．
解：（1）如图，过P作轴于M，则，
∵点P的横坐标为6，
∴，
∵，
∴，
∴点P的纵坐标是8；
（2）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴∠α的正弦值、余弦值分别为和．
20. 水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC=4 m，坡面AD的坡度i为1:1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，()求：
(1)坝底AB的长(精确到0.1)；
(2)水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度(如图)，使新坡面DE的坡度i为，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．

解：如图，

(1)分别过C，D作BE垂线，交BE于F，H，易得四边形CDHF是矩形，
∴CD=HF=4m，DH=CF=3m，在Rt△ADH中，坡度i=1:1，∴AH=DH=3m，
在Rt△BCF中，BC坡角为60 °，∴BF=CF÷tan60°=√3≈1.73，
∴AB=AH+HF+FB=7+1.73=8.73m；
(2)Rt△EDH中,=,∴EH=3,∴AE=EH-AH=3-3≈2.1m<2.5m,所以没有影响．
21. 如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结．
（1）求度数．
（2）求证：．
（3）令，若，求k的值．
解：（1）如图，连接
是直径，,
,
,,；
（2）如图，连接，
由（1）知，是等边三角形,
,
,
,
即
；
（3）如图，连接
等边三角形，，
是直径，，
，
，
设，则，，
，，即
（舍去）或
,．
22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．
解：（1）如图1中，
∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACG，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．
（2）如图2中，连接OE，
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
∴r＝
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
∴，
解得：.
23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
①______
②______