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2024-2025学年山东省聊城市东阿县九年级(上)期中 数学试卷(解析版)
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这是一份2024-2025学年山东省聊城市东阿县九年级(上)期中 数学试卷(解析版)，共21页。
1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1. 若为锐角，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵为锐角，且，
∴，
∴由特殊角的三角函数值可知，，
故选：B．
2. 若，且，，，则EF的长度为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，，
解得：
经检验：符合题意，
故选：C
3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中，，，
∴，
∴．
故选：B．
4. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】如图：由题意可知，
∵坡度，
，
设，则，
，
∴，解得：．米，故选：A．
6. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：连接CD，
∵
∴CD是的直径，
在中，，，
又（圆周角定理），
故选
7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点F在的边上的中垂线上，∴点F是外心．
故选：C．
8. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ）
A. 米B. 5米C. 6米D. 7米
【答案】B
【解析】过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
在中，
(米)，
点A位于最高点时到地面的距离为(米)，
答：点A到地面距离为5米；
故选：B．
9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故正确；
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵
∴，
∴正确；
∵
∴；
∵，∴，
∴，
∴；
故错误．
故选：．
10. 由个有公共顶点的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得
∵…
∴，，，
∴、、在同一直线上，、、在同一直线上，
∴与位似的三角形为，
设，
则，
∴，
∴，
…
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与位似的三角形的面积为，
故选：C．
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果）
11. 在中，，，那么_________．
【答案】
【解析】在中，，，
∴，
∴．
故答案为: ．
12. 中，，点是内心，那么_________．
【答案】
【解析】如图，
∵，∴，
∵I是内心，
∴、分别平分、，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
13. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，，
∵AD是边上的高，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
设正方形的边长为，则，，
∵，
，
，
，，，，
,解得：，
∴正方形的边长为．故答案为：．
14. 如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是_________．
【答案】
【解析】过点O作，如图所示，
∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，经过圆心，
∴，
故答案为：．
15. 如图,矩形是供一辆机动车停放的车位示意图,已知,，，则车位所占的宽度为_________．（，结果精确到0.1）
【答案】
【解析】在中，，，
∴，
四边形为矩形，
，，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
16. 如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴当最小时最小，
又∵，
∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高，
在中，，，则：，
∵，即：，
解得：，
∴
∴；
故答案为：．
三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
18. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
解：（1）由为平行四边形可知，，
，
，
又，
．
（2）平行四边形中，，
，，
，
，
由（1）得，
，
．
19. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上一点，（点不与，重合），连接并延长与交于点，连，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
解：（1）如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以，
因为，，所以，，
由勾股定理得，
所以．
（2）如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以垂直平分，所以，，
因为，，，
所以，所以，
因为，所以，所以．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
解：（1）如图，作，垂足为点,
在中,
∵，,
∴,
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
解：（1）如图：连接．
∵平分，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切，即为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
（3）在中，
在中，，
∵，∴，
∴，
∴．
22. 如图,中,,,,中，，点在上，交于点，交于点．
（1）点是的中点时，求的值；
（2）当时，求的长．
解：（1）如图，作于，于．
因为，
所以四边形是矩形，
所以，，
所以，
所以，
所以．
因为是的中点，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以．
（2）如图，作于，于．
∵，，，
∴，
由（）得，，，
因为，，所以，
所以，
因为，所以，
设，则，，所以，
所以，所以，所以．
23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
解：（1）如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
24. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
∴．
∴=16．
（3）如图2
∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴.
即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
航行记录
记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1. 若为锐角，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵为锐角，且，
∴，
∴由特殊角的三角函数值可知，，
故选：B．
2. 若，且，，，则EF的长度为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，，
解得：
经检验：符合题意，
故选：C
3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中，，，
∴，
∴．
故选：B．
4. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】如图：由题意可知，
∵坡度，
，
设，则，
，
∴，解得：．米，故选：A．
6. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：连接CD，
∵
∴CD是的直径，
在中，，，
又（圆周角定理），
故选
7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点F在的边上的中垂线上，∴点F是外心．
故选：C．
8. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ）
A. 米B. 5米C. 6米D. 7米
【答案】B
【解析】过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
在中，
(米)，
点A位于最高点时到地面的距离为(米)，
答：点A到地面距离为5米；
故选：B．
9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故正确；
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵
∴，
∴正确；
∵
∴；
∵，∴，
∴，
∴；
故错误．
故选：．
10. 由个有公共顶点的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得
∵…
∴，，，
∴、、在同一直线上，、、在同一直线上，
∴与位似的三角形为，
设，
则，
∴，
∴，
…
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与位似的三角形的面积为，
故选：C．
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果）
11. 在中，，，那么_________．
【答案】
【解析】在中，，，
∴，
∴．
故答案为: ．
12. 中，，点是内心，那么_________．
【答案】
【解析】如图，
∵，∴，
∵I是内心，
∴、分别平分、，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
13. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，，
∵AD是边上的高，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
设正方形的边长为，则，，
∵，
，
，
，，，，
,解得：，
∴正方形的边长为．故答案为：．
14. 如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是_________．
【答案】
【解析】过点O作，如图所示，
∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，经过圆心，
∴，
故答案为：．
15. 如图,矩形是供一辆机动车停放的车位示意图,已知,，，则车位所占的宽度为_________．（，结果精确到0.1）
【答案】
【解析】在中，，，
∴，
四边形为矩形，
，，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
16. 如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴当最小时最小，
又∵，
∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高，
在中，，，则：，
∵，即：，
解得：，
∴
∴；
故答案为：．
三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
18. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
解：（1）由为平行四边形可知，，
，
，
又，
．
（2）平行四边形中，，
，，
，
，
由（1）得，
，
．
19. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上一点，（点不与，重合），连接并延长与交于点，连，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
解：（1）如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以，
因为，，所以，，
由勾股定理得，
所以．
（2）如图，连接，
因为是的直径，弦，
所以垂直平分，所以，，
因为，，，
所以，所以，
因为，所以，所以．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
解：（1）如图，作，垂足为点,
在中,
∵，,
∴,
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线．
（2）求证：．
（3）若，求线段的长．
解：（1）如图：连接．
∵平分，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切，即为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
（3）在中，
在中，，
∵，∴，
∴，
∴．
22. 如图,中,,,,中，，点在上，交于点，交于点．
（1）点是的中点时，求的值；
（2）当时，求的长．
解：（1）如图，作于，于．
因为，
所以四边形是矩形，
所以，，
所以，
所以，
所以．
因为是的中点，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以．
（2）如图，作于，于．
∵，，，
∴，
由（）得，，，
因为，，所以，
所以，
因为，所以，
设，则，，所以，
所以，所以，所以．
23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
解：（1）如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
24. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
∴．
∴=16．
（3）如图2
∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴.
即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
航行记录
记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
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