2024-2025学年山东省烟台市福山区(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省烟台市福山区(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分）
1. 在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为（ ）
A. asinAB. C. acsAD.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，由锐角三角函数的定义可得，sinA=，所以斜边=.
故选B.
2. 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ）
A. 1米B. 2米C. 4米D. 5米
【答案】C
【解析】令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）．
所以运行的水平距离为4米．故选C．
3. △ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 15°
【答案】D
【解析】在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=，∴∠CAD＝30°，∴∠ADC＝60°,而∠ADC＝∠B＋∠DAB,∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B＝45°,∴∠DAB＝15°．故选：D．
4. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的一个交点坐标为，
即或时，函数值，
所以关于的方程的解为，．
故选：．
5. 函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
当时，即，，当时，即，
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
6. 若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】由，得 ，
∴，
∴当x＝4时，的最大值是16．
故选：C．
7. 已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】∵为锐角，且，
又，
∴．
故选：B．
8. 如图，要测量一条河两岸相对两点,之间的距离，我们可以在岸边取点和，使点，，共线且直线BD与AB垂直，测得，，，则AB的长约为( )
(参考数据，，，，，)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ，
在中，，
，
在中，，且，
，
由得，
解得x=30，
的长约为，
故选：B．
9. 如图，在的正方形网格中，的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，在直角三角形中，.
故选C.
10. 如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．

A. 25.5B. 26C. 28.5D. 20.5
【答案】B
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选B．
11. 如图，等边的边长为2 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿的方向向点C移动（到达点C后停止），若的面积为，则下列最能反映与移动时间之间函数关系的大致图象是图2（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】（1）如图1，当时，作垂直于于点H，即为的高，底为，
∵三角形为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，当时，作垂直于于点H，即为的高，底为，
∵等边的边长为2cm，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，关于S和t的函数图像应是C．故选C．

12. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（包含端点），顶点坐标为.以下判断：①当时，；②；③；④．其中正确的个数有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线是，
∵抛物线与x轴交于点，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，
观察图象得：当时，，故①正确；
观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线与x轴交于点，，
∴方程的两根为，3，
∴，即，
∵抛物线与y轴的交点在、之间（包含端点），
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，∴，
∵顶点坐标为，
∴当时，
，
∵，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个．
故选：B
二、填空题（每题3分）
13. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________．
【答案】
【解析】过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G，
由题意得：GEBF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵BC＝3，
∴CG＝BC＝1，
∴GB＝CG＝，
∵，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝，
∴tanα＝tan∠BAG＝，
故答案为：．
14. 将二次函数图像向下平移个单位长度，平移后的解析式为___________．
【答案】
【解析】二次函数图像向下平移个单位长度，
∴，
∴平移后的解析式为，
故答案为： ．
15. 如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为________．
【答案】
【解析】∵此二次函数的图象经过点，
∴．
∵此二次函数图象的对称轴是y轴，且矩形ABCD的长和宽的比为，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积，
设点C的坐标为，
∵四边形OECD是正方形，
∴，解得（舍去负值），，
∴点C的坐标是，
∴．
16. 二次函数的图象经过、、三点，则，，的大小关系是_________. （用“”连接）
【答案】
【解析】，
对称轴为直线，
的对称点坐标为，
，
抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
17. 如图，是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F，若，，则四边形的周长是__________．
【答案】4
【解析】连接交于，如图：
，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形菱形，
，，，
在中，
，
四边形的周长是，
故答案为：4．
18. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm．
【答案】
【解析】如图，设这个展开图中正方形的边长为，
延长交于点D，
则，，，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
即这个展开图中正方形的边长为．
故答案为：．
三、解答题（66分）
19. 已知：如图，在中，，，，是边上的中线．

（1）求的面积；
（2）求的余切值．
解：（1）过点C作，点H为垂足，
在中，，

是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
；
（2）过点D作，点M为垂足，

，
，
，
D为中点，
，
由（1）知：，，，
在中，，．
20. 某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下,在操场上对无人机进行了一次测高实验.如图,两台测角仪分别放在A，B位置,且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为．
（1）求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数）
（2）无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，）
解：（1）如图，过点C作，垂足为点H，
，
．
设，则．
在中，．
，，
．
．
答：无人机离地面高度约为．
（2）过点P作，垂足为点M，
无人机沿水平飞行，．
在中，．
．
又．．
答：无人机水平飞行的平均速度约为．
21. 某超市有甲、乙两种商品，若买1件甲商品和4件乙商品，共需元；若买2件甲商品和3件乙商品，共需元．
（1）求甲、乙两种商品每件售价分别是多少元？
（2）甲商品每件的成本是元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该超市每天销售甲商品件，若销售单价每上涨1元，甲商品每天的销售量就减少5件．求甲商品每件售价为多少元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设甲种商品每件售价是x元，乙种商品每件售价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种商品每件售价是元，乙种商品每件售价是元．
（2）设甲商品每件售价为m元时，每天的销售利润为n元，


，
∴此二次函数的图象的开口向下，
∴当时，n有最大值，最大值为元，
答：甲商品每件售价为元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是元．
22. 如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3）．
（1）求一次函数解析式；
（2）若点P是直线AB下方，抛物线上第四象限内的一点，求S△PBA的最大值及此时点P的坐标．
解：将A（4，3）代入y＝x2+bx﹣3中得，3=×42+4b﹣3，
b= -,
∴y＝x2-x﹣3
当y=0时
x2-x﹣3=0，
解得x1=3 x2=-2
∴B(-2，0)、C(3，0)
将A（4，3）、B(-2，0)代入y＝mx+n得：
,解得
∴y＝x+1
（2）设点P的坐标为 ，过点A作AD⊥x轴于点D，过P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H，
∴，
∴
∴，
∴当t=1，坐标为（1，-3）时，最大，此时；
23. 请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式.求的值，即
,试用公式，求出的值.
解：，
24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面
示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，）
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．
解：过点作于，如图（2）所示：

设，
的坡度为，
，
，
在中，由勾股定理得，
解得：，
，．
答：到一楼地面的高度为；
（2）过点作于交于，过点作于交于，

则，四边形、四边形是矩形，，
，，，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
，
答：日光灯到一楼地面的高度约为．
25. 如图，已知二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点C（0，3）．
（1）若tan∠ACO＝，求这个二次函数的表达式；
（2）若OC为OA、OB的比例中项．
①设这个二次函数的顶点为P，求△PBC的面积；
②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=23，
∴A（-2，0），
则有
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+3．
（2）①∵对称轴x=-=2，如图1所示，
由OC为OA、OB的比例中项可得△AOC∽△COB．
设点A的坐标为（m，0），则点B的坐标为（4-m，0），
则OA=-m，OB=4-m，
∴，
解得m1=2+（舍），m2=2-，
∴A（2-，0），B（+2），
则有，解得
∴二次函数的解析式为y=-x2+43x+3，
∴P（2，），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y=，
过点P作y轴平行线交BC于点Q，
则Q（2，），
∴PQ=，
∴S=，
②存在，分两种情况．
情况一：如图2所示，
此时M于O重合，∴N（+2，3）．
情况二：如图3所示，
∵四边形CBMN为矩形，∴∠CBM=90°，
∴∠CBO=∠OMB，
∵∠COB=∠BOM，
∴△COB∽△BOM，
∴，即
解得OM=，
∴M（0，-），
线段NC可以从BM平移得到，
点B与点C为对应点，点M与点N为对应点，
点B向左移动（2+）个单位，向上移动3个单位得到点C，
∴点M到点N也是同样得平移规律，
∴N（-2-，--）．
综上，点N的坐标为（+2，3）或（--2，--）.