宁夏吴忠市2025届高三上学期学业水平适应性考试数学试题

这是一份宁夏吴忠市2025届高三上学期学业水平适应性考试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知集合，则，已知，则，已知函数是偶函数，则，函数图象的一条对称轴为直线，则，已知是球的球面上的三个点，且，已知为方程的根，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考试时间：120分钟满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C.，或 D.
2.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数是偶函数，则（ ）
A. B. C.0 D.1
5.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的纵坐标为3，则等于（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
6.函数图象的一条对称轴为直线，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知是球的球面上的三个点，且.若三棱锥的体积是，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分
9.已知为方程的根，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.的图象关于原点对称
B.存在非零常数，使得
C.的最小值为
D.方程无解的充要条件是
11.过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，则（ ）
A.双曲线的实轴长为2
B.当轴时，
C.当时，这样的直线有3条
D.当时，这样的直线有4条
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知单位向量满足，则与的夹角为__________.
13.不等式的解集为__________.
14.已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是__________，二面角的余弦值是__________（用表示）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
在空间直角坐标系中，一个质点从原点出发，每秒向轴正方向､轴负方向､轴正方向､轴负方向､轴正方向､或轴负方向移动1个单位，且向六个方向移动的概率均相等.
（1）求该质点在第4秒末移动到点的概率；
（2）设该质点在第2秒末移动到点，记随机变量，求的期望.
16.（本题满分15分）
已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为表示不超过的最大整数，求证：.
17.（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分17分）
设椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.
（i）若直线与轴相交于点，且，求的值；
（ii）已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？
19.（本题满分17分）
若变量满足：，且，其中且，则称是的“型函数”.
（1）已知是的“2型函数”，求该函数在点处的切线方程；
（2）已知是的“型函数”.
（i）求的最小值；
（ii）求证：.
吴忠市2025届高三学业水平适应性测试卷
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分，第（1）题5分，第（2）题8分）
解：（1）在第4秒末移动到点，需要沿轴正方向移动2次，
沿轴正方向移动2次，共有种可能，
故该质点在第4秒末移动到点的概率为.
（2）质点移动2次，共有种可能.若向正方向移动2次，则，有种可能，；
若向负方向移动2次，则，有种可能，；
若向正方向和负方向各移动1次，
则，有种可能，.
故.
16.（本题满分15分，第（1）题6分，第（2）题9分）
解：（1）当时，，即；
当时，
有，
得，
若，则；
综上，有.
（2）.
显然，，有，
当时，，且，有，
故.
17.（本题满分15分，第（1）题5分，第（2）题10分）
解：（1）如图，取的中点，连接，
，有，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）如图，取的中点，连接，
因为，
所以，
由，
知四边形是正方形，有，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
在平面内作直线的垂线，
则平面，有，
分别以所在直线为轴､轴､轴，
建立空间直角坐标系，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
由，知，
由，知，
从而有，
，
有，
设平面的法向量为，由有取，
则，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
18.（本题满分17分，第（1）题3分，第（2）题（i）8分，（ii）6分）
解：（1）由题意，有，
，
，解得，
故椭圆的方程为.
（2），与联立，
得，
其中，
设，有，
.
（i）由，
有，即，
有，
解得.
（ii），假设存在直线平行于直线，
有，有，又，
有，得，
有，
代入，得，
有，
代入，有，
整理，得，有，显然矛盾，故不存在
实数，使直线平行于直线.
19.（本题满分17分，第（1）题4分，第（2）题（i）5分，（ii）8分）
解：（1）由题意，有，得，
有，有，
则，
有，故该函数在点处的切线方程为，
即.
（2）因为是的“型函数”，所以，
由，有.
（i），
当且仅当
即时“”成立.
（ii）由，有，
记
由，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此，有
这也就证明了.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
B
C
A
C
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
ABD