2025苏州高一上学期11月期中考试数学含解析

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2024.11
注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：B.
2. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的定义域，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】函数中，，解得且，，
因此是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得.
故选：D.
4. 已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用配方法可求得函数的值域.
【详解】因为函数为幂函数，设，其中为常数，
则，可得，则，
所以，，当且仅当时，等号成立，
故函数的值域为.
故选：A.
5. 如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
6. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，满足关于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命题，选C．
考点：方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
点评：小综合题，二次函数，当a>0时，使函数取得最小值．
7. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（ ）
A. 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好
C. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
D. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差
【答案】C
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD.
【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，，
解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为，
而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，，
增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
则，而，
于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为，
而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
则，
若，则；若，则；若，则，
因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误.
故选：C
8. 设奇函数的定义域为，对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的、，且，都有不等式，
不妨设，则，
令，则，即函数在0,+∞上为增函数，
因为函数为R上的奇函数，即f−x=−fx，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在0,+∞上单调递增，在上单调递减，
因为，则，
当时，即当时，
由可得，
则，解得；
当时，即当时，
由可得，
则，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设全集，集合，，，则（ ）
A. 集合真子集个数是B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用真子集的个数公式可判断A选项；利用并集运算可判断B选项；
利用补集和交集运算可判断C选项；利用集合的包含关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，集合的元素个数为，则集合的真子集个数是，A对；
对于B选项，因为，，则，B对；
对于C选项，因为全集，集合，，
则，，则，C错；
对于D选项，由C选项可知，因为，，则，D对.
故选：ABD.
10. 已知，若，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为10
C. 的最大值为2
D. 的最小值为8
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，结合二次函数的性质逐项分析求解即可.
【详解】对于A，，，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
11. 设函数，则（ ）
A. 直线是曲线的对称轴
B. 若函数在上单调递减，则
C. 对，不等式总成立
D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
画出的图象如下图所示，
A选项，由图可知，不是的对称轴，A选项错误.
B选项，若函数在上单调递减，由图可知，
，B选项正确.
C选项，对，
，所以总成立，
所以C选项正确.
D选项，当时，,
此时关于直线对称，所以，
成立.
当时，，成立.
当时，，
，成立.
综上所述，当时，，D选项正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛:
函数图象的辅助分析：通过画出函数的图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常有效的辅助手段.
单调性与对称性结合分析：通过结合单调性和对称性，确保对函数的所有性质都有准确的理解，这是判断选项的关键步骤.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，，，，若，则____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案.
【详解】，，，，，
，，，，；
故答案为：.
13. 已知是偶函数且，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数为偶函数可求出，进而可求得的值.
【详解】设，则，
因为函数为偶函数，则，可得，
因为，则.
故答案为：.
14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，
当且时，则，这与矛盾，
不合乎题意，所以，，
因为二次函数的对称轴为直线，
当时，即当时，则函数在上为增函数，
根据题意，则有，此时，；
当时，即时，当时，，
由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合.
（1）若，求集合；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，再利用补集、交集的定义求解.
（2）利用给定的交集结果，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
当时，或，而，
所以.
【小问2详解】
由，得，则，解得，
所以的取值范围是.
16. 已知函数，其中.
（1）若不等式的解集为，解关于的不等式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用给定的解集求出，再解分式不等式即得.
（2）分类讨论求解含参的不等式.
【小问1详解】
依题意，是不等式的解集，则是方程的二根，
于是，解得，不等式为，
因此，解得或，
所以所求不等式的解集为.
【小问2详解】
不等式，
当时，，解得；
当时，，不等式无解；
当时，，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17. 函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求的解析式及其值域；
（2）求的值，并计算.
【答案】（1），；值域为.
（2）；.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用可求得的值，由此可得出函数的解析式及定义域，然后利用不等式的基本性质可求得函数的值域；
（2）代值可计算得出的值，由偶函数的性质可得出，进而可求得的值.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的偶函数，
则，解得，则，
又因为，故，
所以，，即函数为偶函数，
所以，，，则，所以，，
则，所以，，
所以，函数值域为.
【小问2详解】
解：，
因为函数为偶函数，则，
因此，
.
18. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米.
（1）若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？
（2）现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标）
【答案】（1）答案见解析
（2）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论；
（2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意可知，水池的容积为，可得，
甲工程队的造价为
（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元.
【小问2详解】
解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、，
不等式恒成立，
即对任意的、，恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
令，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，，
所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则，
又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功.
19 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）记.
（i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间；
（ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）（i）在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，；（ii）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明.
（2）（i）利用单调性定义求出的单调区间，进而求出的单调区间；（ii）假定存在，分类讨论并结合单调性求值域建立方程求解即得.
【小问1详解】
函数是奇函数，
函数的定义域为，，
所以函数是奇函数.
【小问2详解】
（i），，
由，得，
当时，，则，函数在上单调递减；
当时，，则，函数在上单调递增，
当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增.
（ii）由（i）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
假设存在区间符合条件，
①当时，在上单调递减，则，即，
化简得，而，
因此不成立，即无解，不存在；
②当时，在上单调递增，则，即，
是方程，即的两个实根，
解得，符合题意，区间为；
③当时，在上单调递减，则，
化简得，而，则，即，
由，得，，无解，不存在；
④当时，在上单调递增，则，
是方程，即的两个实根，此方程在无解，不存在，
所以存在区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是，该区间为.
【点睛】关键点点睛：求出函数在上的单调区间，再按单调性分类讨论是求解问题的关键.