江苏省徐州市撷秀初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省徐州市撷秀初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1，则配方后所得的方程为（ ）
A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝8
2．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的点．若∠ACB＝35°，则∠AOB＝（ ）
A．35°B．70°C．80°D．105°
3．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．22×17﹣17x﹣22x＝300
B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300
C．（22﹣x）（17﹣x）＝300
D．（22+x）（17+x）＝300
4．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
5．二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）图象上有三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下
则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．方程ax2+bx+c＝0有一个正根大于3
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．如图，△ABC的外接⊙O的半径为5，BC＝8，点P为BC的中点，以点P为圆心作⊙P，若⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为（ ）
A．3B．3.5C．2或8D．2或4
8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（1，2），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则当a﹣b+c的值最小时，该二次函数图象经过（ ）
A．B，C，DB．A，C，DC．A，B，DD．A，B，C
二、填空题
9．方程x2＝2x的根为 ．
10．已知点（1，3）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是 ．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点P是⊙O上一动点（点P不与点B，C重合），则∠CPB的度数为 ．
12．把二次函数y＝x2+6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，得y＝（x+3）2﹣5，它的顶点坐标是 ．
13．已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为 ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为 ．
17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为 ．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝8，BD的最小值为 ．
三、解答题
19．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
20．已知二次函数y＝﹣x2+4．
（1）填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）利用图象写出当y≤0时，x的取值范围是 ．
21．如图，已知：在△AOB中，∠O＝90°．
求作：⊙O，使它与AB相切于点C，与AO相交于点D．
22．长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为15米的旧墙MN，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地ABCD，其中AD≤MN，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了24米的防火护栏，设AB＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）BC＝ 米，S＝ 平方米；（用含x的代数式表示）
（2）所围成的矩形燃放地面积能否为90平方米，若能请求出AD的长，若不能请说明理由．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）的图象过A（﹣2，3），交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象的顶点在直线y＝2x﹣1上，求该函数的表达式．
24．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
25．如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径：
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高6m宽2.5m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？
26．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②点Q是线段AC下方抛物线上的一点，若△QAC的面积是3，求点Q的坐标．
2024-2025学年江苏省徐州市云龙区撷秀中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1，则配方后所得的方程为（ ）
A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝8
【答案】C
【分析】方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解．
【解答】解：原方程配方得：x2﹣6x+9＝10，
即（x﹣3）2＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了配方法，掌握配方法是解题的关键．
2．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的点．若∠ACB＝35°，则∠AOB＝（ ）
A．35°B．70°C．80°D．105°
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∠ACB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角，
因为同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，
所以∠ACB＝，
又因为∠ACB＝35°，
所以∠AOB＝2×35°＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
3．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．22×17﹣17x﹣22x＝300
B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300
C．（22﹣x）（17﹣x）＝300
D．（22+x）（17+x）＝300
【答案】C
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）＝300，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
4．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
【答案】C
【分析】首先连接OA，由OA＝OB，根据等边对等角的知识，即可求得∠BAO的度数，然后由三角形内角和定理，可求得∠AOB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝140°，
∴∠C＝∠AOB＝70°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
5．二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）图象上有三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【答案】A
【分析】先由二次函数图象与性质得到图象上的点离对称轴越近，相应的y值就越小，在由已知点计算它们离对称轴距离即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，
∴图象上的点离对称轴越近，相应的y值就越小，
∵A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）三点在二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）图象上，
∴A（﹣1，y1）离对称轴距离为2、B（1，y2）离对称轴距离为0、C（2，y3）离对称轴距离为1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数值比较大小，涉及二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
6．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下
则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．方程ax2+bx+c＝0有一个正根大于3
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴可判断B，根据点的坐标可判断A，根据顶点和（3，1）可判断C，根据增减性可判断D．
【解答】解：由表格可知：抛物线的顶点为（1，﹣3）
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
故选项B正确；
∵抛物线还与y轴交于（0，﹣2）
所以抛物线开口向上，
故选项A正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，还有（2，﹣2）和（3，1）
∴抛物线与x轴的正半轴交点的横坐标小于3，
∴方程ax2+bx+c＝0有一个正根小于3
故选项C不错误；
∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大
故选项D正确；
本题选择说法错误的，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
7．如图，△ABC的外接⊙O的半径为5，BC＝8，点P为BC的中点，以点P为圆心作⊙P，若⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为（ ）
A．3B．3.5C．2或8D．2或4
【答案】C
【分析】分两种情况，由相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解．
【解答】解：连接OC，OB，PO，
∵OC＝OB，PC＝PB，
∴OP⊥BC，
∵OC＝5，PC＝＝，
∴OP＝＝＝3，
当⊙P在⊙O内部时，两圆相切于M，如图（1），
∴PM＝OM﹣OP＝5﹣3＝2，
∴此时⊙P的半径为2，
当⊙P在⊙O外部时，两圆相切于N，如图（2），
∴PN＝ON+OP＝5+3＝8，
∴此时⊙P的半径为8，
∴⊙P的半径为8或2．
故选：C．
【点评】本题考查相切两圆的性质，关键是掌握相切两圆的性质，并分两种情况讨论．
8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（1，2），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则当a﹣b+c的值最小时，该二次函数图象经过（ ）
A．B，C，DB．A，C，DC．A，B，DD．A，B，C
【答案】D
【分析】分别求出抛物线经过B、C、D，A、C、D，A、C、D，A、B、C四种情况下a、b、c的值，并求得a﹣b+c的值进行比较即可解答．
【解答】解：当抛物线过点B、C、D时，
，得：，
∴a﹣b+c＝10；
当抛物线过点A、C、D时，
，得：，
∴a﹣b+c＝﹣；
当抛物线过点A、B、D时，
，得：，
∴a﹣b+c＝2；
当抛物线过点A、B、C时，
，得：a＝﹣1，b＝2，c＝1
∴a﹣b+c＝﹣2；
∵．
故选：D．
【点评】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用运用待定系数法成为解题的关键．
二、填空题
9．方程x2＝2x的根为 x1＝0，x2＝2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．已知点（1，3）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是 3 ．
【答案】3．
【分析】将点的坐标直接代入函数是解题的关键．将点（1，3）代入二次函数中即可求得a的值．
【解答】解：二次函数y＝ax2中图象过点（1，3），
∴3＝a×12，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点P是⊙O上一动点（点P不与点B，C重合），则∠CPB的度数为 60° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质求出∠A的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BPC的度数
【解答】解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BPC＝∠A＝60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12．把二次函数y＝x2+6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，得y＝（x+3）2﹣5，它的顶点坐标是 （﹣3，﹣5） ．
【答案】（﹣3，﹣5）．
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此可得答案．
【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），
∵二次函数y＝x2+6x+4的顶点式为y＝（x+3）2﹣5，
∴二次函数y＝x2+6x+4的顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故答案为：（﹣3，﹣5）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式特征是关键．
13．已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】弧长6π，根据弧长的计算公式l＝得到．
【解答】解：根据题意得：6π＝，解得r＝9，该圆的半径为9．
【点评】本题考查弧长公式．正确记忆公式是解题的关键．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1．
【分析】图象法求一元二次方程的解即可．
【解答】解：根据图象可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点为（﹣3，0），
∴另一个交点为（1，0），
∴方程的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为 ．
【答案】．
【分析】根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出∠AOD＝45°，Rt△DOE中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，
∴，
∵∠ACD＝22.5°，，
∴∠AOD＝45°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为 ﹣3＜x＜1 ．
【答案】﹣3＜x＜1．
【分析】根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0，进而结合函数图象得出x的取值范围．
【解答】解：函数大概图象如下：
根据题意得出当ax2+bx+c＞kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0，
则从图象看，关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝8，BD的最小值为 ． ．
【答案】．
【分析】以AC为斜边作等腰Rt△ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，当B、D、Q三点共线时，BD最小，QD＝4，由，BD＝BQ﹣QD，即可求解．
【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰Rt△ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．
∴∠QAC＝45°，
∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠APC＝∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴
∴，
∴，
∴，
∴AQ＝4，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
∴当B、D、Q三点共线时，BD最小，QD＝4，
∵∠BAQ＝∠QAC+∠BAC＝90°，
∴
＝，
∴BD＝BQ﹣QD
＝；
∴BD的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题
19．解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1
＝9﹣4
＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，
（4x﹣3）（2x﹣1）＝0，
4x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．已知二次函数y＝﹣x2+4．
（1）填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）利用图象写出当y≤0时，x的取值范围是 x≤﹣2或x≥2 ．
【答案】（1）列表见解析；函数图象见解析；
（2）x≤﹣2或x≥2．
【分析】（1）把表中自变量的值分别代入函数式中即可求得对应的函数值，从而完成表格；然后描点、连线即得到函数图象；
（2）从形的角度理解：y≤0，函数图象位于x轴下方，观察函数图象即可．
【解答】解：（1）如下表：
如下图所示：
（2）当y≤0时，是函数图象位于x轴下方的部分，
∴x≤﹣2或x≥2．
∴当y≤0时，x的取值范围是x≤﹣2或x≥2．
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查了求函数值、画二次函数图象，根据交点确定不等式的解集，掌握二次函数图象与性质是关键．
21．如图，已知：在△AOB中，∠O＝90°．
求作：⊙O，使它与AB相切于点C，与AO相交于点D．
【答案】见解答．
【分析】结合切线的判定与性质，先过点O作AB的垂线，交AB于点C，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆，交AO于点D，即可得⊙O．
【解答】解：如图，先过点O作AB的垂线，交AB于点C，再以点O为圆心，OC的长为半径画圆，交AO于点D，
则⊙O即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
22．长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为15米的旧墙MN，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地ABCD，其中AD≤MN，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了24米的防火护栏，设AB＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）BC＝ （24﹣2x） 米，S＝ x（24﹣2x） 平方米；（用含x的代数式表示）
（2）所围成的矩形燃放地面积能否为90平方米，若能请求出AD的长，若不能请说明理由．
【答案】（1）（24﹣2x），x（24﹣2x）；（2）不能．
【分析】（1）由题意得：CD＝AB＝x，据此即可求解；
（2）令（24﹣2x）x＝90，求解该方程即可判断；
【解答】解：（1）由题意得：CD＝AB＝x，则BC＝（24﹣2x）米，
S＝（24﹣2x）x平方米；
故答案为：（24﹣2x），x（24﹣2x）；
（2）设（24﹣2x）x＝90，即x2﹣12x+45＝0，
由Δ＝（﹣12）2﹣4×45＜0，可知方程无实数根，
∴所围成的矩形燃放地面积不能为90平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，涉及了列代数式，掌握一元二次方程的求解是解题关键．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）的图象过A（﹣2，3），交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象的顶点在直线y＝2x﹣1上，求该函数的表达式．
【答案】（1）B（0，3）；直线x ＝﹣1；（2）y＝6x2+12x+3．
【分析】（1）依据题意，由二次函数交y轴于点B，从而当x＝0时，y＝3，可得B的坐标；结合A（﹣2，3），从而可以判断对称轴是直线x＝ ＝﹣1，即可得解；
（2）依据题意，根据（1）对称轴是直线x＝﹣1，从而抛物线的顶点为（﹣1，a﹣b+3），又顶点在直线y＝2x﹣1上，故﹣2﹣1＝a﹣b+3，再结合A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上，可得4a﹣2b+3＝3，最后求出a，b即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数交y轴于点B，
又当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3）．
由∵A（﹣2，3），
∴对称轴是直线x＝ ＝﹣1．
（2）由题意，根据（1）对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线的顶点为（﹣1，a﹣b+3）．
又∵顶点在直线y＝2x﹣1上，
∴﹣2﹣1＝a﹣b+3．
又∵A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上，
∴4a﹣2b+3＝3．
∴a＝6，b＝12．
∴抛物线为y＝6x2+12x+3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质得AD＝CD；
（2）连接OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，则OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD；
（2）证明：连接OD，如图，
∵AD＝CD，AO＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
25．如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径：
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高6m宽2.5m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？
【答案】（1）6.5m；
（2）能通过，见解析．
【分析】（1）设圆心为点O，半径为R，再根据垂径定理、勾股定理即可求解；
（2）在圆弧AED上取一点H，过点H作HG⊥OE于点G，且使得HG＝2.5，根据勾股定理，得，进而求出点G到到BC的距离，然后与车高进行大小比较即可．
【解答】解：（1）设圆心为点O，半径为R，连接OA，OE，设OE与AD交于点F，
∵隧道的顶端E是圆弧AED的中点，高出道路（BC）7m，
∴，
∵矩形的长BC为12m，宽AB为3m，
∴AD∥BC且AD，BC之间的距离为3m，AD＝BC＝12m，
∴，EF＝7﹣3＝4（m），AF＝DF＝6m
∴OF＝（R﹣4）（m），
∴R2＝（R﹣4）2+62，
∴R＝6.5，
故圆弧AED所在圆的半径为6.5m．
（2）在圆弧AED上取一点H，过点H作HG⊥OE于点G，且使得HG＝2.5，
∴，
由点O到BC的距离为7﹣6.5＝0.5（m），
故点G到到BC的距离为6+0.5＝6.5m＞6m，
故这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
26．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②点Q是线段AC下方抛物线上的一点，若△QAC的面积是3，求点Q的坐标．
【答案】（1）B的坐标为（1，0），抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①P（4，21）或（﹣4，5）；②Q（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴和待定系数法即可求解；
（2）①设P（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC，可得，然后解出x代入即可求解；
②先求出直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，过Q作QG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，设Q（a，a2+2a﹣3），则H（a，﹣a﹣3），
然后根据，最后解方程，代入求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设B的坐标为（m，0），
∴，
∴m＝1，
∴B（1，0），
又∵抛物线y＝（x+1）2+k过点A（﹣3，0），
∴0＝（﹣3+1）2+k，
∴k＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
（2）①由（1）得：B的坐标为（1，0），抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），
∵OB＝1，OC＝3，
∴，
设P点的坐标为（x，x2+2x﹣3），
∴，
∵S△POC＝4S△BOC，
∴，
解得：x＝±4，
∴P点的坐标为（﹣4，5）或（4，21）；
②设直线AC解析式为y＝mx+n且过A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
∴，
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
过Q作QG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，
设Q（a，a2+2a﹣3），则H（a，﹣a﹣3），其中﹣3＜a＜0，
∵点Q是线段AC下方，
∴QH＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，
∴，
∴0＝a2+3a+2，
∴a＝﹣2或a＝﹣1，
∴Q（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，熟练掌握待知识点的应用是解题的关键．
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