江苏省连云港市东海县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省连云港市东海县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是通过翻折得到的全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
3．（3分）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互为余角
D．垂线段最短
4．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．9，12，15D．1，，
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定关于某直线对称
B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个图形是全等形
6．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．不变B．变小
C．变大D．先变小再变大
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，角平分线BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④FD＝FE＝FG．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠F＝ ．
10．（3分）等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为 °．
11．（3分）如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
12．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，∠C＝60°，则BC＝ ．
13．（3分）如图，∠B＝∠C＝36°，点D在BC上，且∠CDA＝72°，则图中的等腰三角形有 个．
14．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB+BC＝10，DE＝2，则△ABC的面积为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 ．
16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别足4、6、2、4，则正方形E的边长是 ．
17．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC，且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝a，则△BCE的面积为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD中，BC＝6，AD＝2，点M是AB上一点，且∠DMC＝135°，AM＝3，BM＝4，则CD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝3，AC＝5．求BD长．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是中线，BF是角平分线，∠C＝68°．
（1）∠CAE＝ °．（直接填空）
（2）求∠1的度数．
21．（10分）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm．由以上信息你能求出CB的长度吗？并说明理由．
22．（10分）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，需要购买 m2的地毯才能铺满所有台阶．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点F是AC边上一点，CF＝1．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题：
（1）在边AB上作点D，使得点D到边CA、CB的距离相等；
（2）在射线CD上作点E，使得点E到点A、点B的距离相等；
（3）若点P是射线CD上一个动点，当FP+AP取最小值时，在图中作出符合要求的点P，FP+AP的最小值为d，则d2＝ ．
25．（10分）如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE．
（1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
26．（12分）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝9．点E从D点沿射线DC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运动，当点F到达终点D时，点E也立即停止运动，连接AE、AF，设点F运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD是△AEF的中线？
（2）当t＝1时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
27．（14分）【课本再现】
（1）苏科版数学八年级上册课本第65页思考：如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
【尝试探究】
（2）点P是边AC上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPE，连接AE．
①判断△AEP的形状，并说明理由；
②求证：∠AEP＝2∠ABP；
【探究应用】
（3）若点P是直线AC上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若CB＝2，直接写出点E到点C的最小距离．
2024-2025学年江苏省连云港市东海县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）下列是通过翻折得到的全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据翻折变换的性质判断即可．
【解答】解：选项B中的两个三角形是翻折变换得到的．
故选：B．
【点评】本题考查全等图形，翻折变换，解题的关键是正确翻折变换的性质．
2．（3分）如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH＝∠DFH．
【解答】解：在△DHE和△DHF中，
，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
3．（3分）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互为余角
D．垂线段最短
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
4．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．9，12，15D．1，，
【答案】C
【分析】想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A．12+22≠32，不能构成勾股数，故该选项错误，符合题意；
B．42+52＝41≠62，不能构成勾股数，故该选项错误，不符合题意；
C．92+122＝225＝152，能构成勾股数，故该选项正确，符合题意；
D．12+（）2＝3≠（）2，数据也不是正整数，不能构成勾股数，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．
5．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定关于某直线对称
B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个图形是全等形
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、两个全等三角形一定关于某直线对称错误，故本选项错误；
B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误；
C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交，故本选项错误；
D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，成轴对称的两个图形既要考虑形状和大小，还要考虑位置．
6．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】证明PA＝PB，可得结论．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
故选项B正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．不变B．变小
C．变大D．先变小再变大
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，
∴OM＝AB．
同理OM＝CD．
∵AB＝CD．
∴OM的长度不变．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，角平分线BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④FD＝FE＝FG．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出∠BDF＝∠CEF，BD＝CE∠DBF＝∠ECF，利用ASA证明△BDF≌△CEF，可对④进行判断．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，
故①正确，符合题意；
在△BDF和△CEF中，
∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边，
∴△BDF和△CEF不一定全等，
∴BD≠CE，故②错误，不符合题意；
∵∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝60°，∠BFC＝120°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG＝∠BFC＝60°＝∠DFB，
在△BDF和△BGF中，
，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD＝BG，
同理可得，△CEF≌△CGF，
∴CE＝CG，
∴BC＝BG+CG＝BD+CE，
故③正确，符合题意；
若BE⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∴BD＝AB＝AC＝CE，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
故④正确，符合题意；
∴正确的结论是①③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠F＝ 40° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．
10．（3分）等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为 50 °．
【答案】50．
【分析】由题意知，底角的度数为，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，底角的度数为，
故答案为：50．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
11．（3分）如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（写一个即可） ．（写一个即可）
【答案】见试题解答内容
【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．
【解答】解：添加AB＝AC，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
添加∠B＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠B＝∠C，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
添加∠ADB＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠ADB＝∠E，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
故答案为：AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（写一个即可）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．
12．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，∠C＝60°，则BC＝ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等边三角形的判定和性质，可求解．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝5，
故答案为：5
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握等边三角形的判定方法及性质．
13．（3分）如图，∠B＝∠C＝36°，点D在BC上，且∠CDA＝72°，则图中的等腰三角形有 3 个．
【答案】3．
【分析】根据三角形内角和分别计算出∠BAD、∠CAD的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠B＝36°，∠CDA＝72°，
∴∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∴∠CAD＝∠BCAC﹣∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴AC＝CD，
∴△ADC是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有3个，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边．
14．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB+BC＝10，DE＝2，则△ABC的面积为 10 ．
【答案】10．
【分析】过D点作DH⊥BC于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD
＝×AB×2+×BC×2
＝（AB+BC）
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 14° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】△ABC中已知两个角的度数，求出∠B的度数，由折叠可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度数，再利用三角形外角与内角关系求出∠EDB即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
【点评】主要考查三角形内角和、三角形外角与内角的关系，关键要掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角和．
16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别足4、6、2、4，则正方形E的边长是 4 ．
【答案】4．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式求解．
【解答】解：设另两个正方形为F，H，
由勾股定理得：F的面积为4+6＝10，H的面积为2+4＝6，
∴E的面积为10+6＝16，
∴E的边长为：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的意义及正方形的面积公式是解题的关键．
17．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC，且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝a，则△BCE的面积为 ．
【答案】．
【分析】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，
∵AB＝AC，BC＝a，
∴BH＝HC＝，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACH+∠ECF＝90°，
∵∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠ECF＝∠CAH，
在△ACH与△CEF中，
，
∴△ACH≌△CEF（AAS），
∴EF＝CH＝，
∴△BCE的面积＝＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
18．（3分）如图，四边形ABCD中，BC＝6，AD＝2，点M是AB上一点，且∠DMC＝135°，AM＝3，BM＝4，则CD的最大值是 13 ．
【答案】13．
【分析】分别作A关于DM，B关于CM的对称点A′，B′，连接A′M，B′M，DA′，CB′，A′B′，根据堆成的性质可得：AD′＝AD＝2，AM′＝AM＝3，B′M＝BM＝4，CB′＝CB＝6，再根据题意分析DC≤DA′+A′B′+B′C，代入数据求解即可．
【解答】解：分别作A关于DM，B关于CM的对称点A′，B′，如图所示，
连接A′M，B′M，DA′，CB′，A′B′，
∵BC＝6，AD＝2，AM＝3，BM＝4，
则AD′＝AD＝2，AM′＝AM＝3，B′M＝BM＝4，CB′＝CB＝6，
∵∠AMD＝∠A′MD，∠BMC＝∠B′MC，
∵∠DMC＝135°，∠AMD+∠BMC＝45°，
∴∠CMB′+∠A′MD＝45°，
∴∠A′MB′＝∠DMC﹣（∠DMA′+∠CMB′）＝90°，
∴，
∵DC≤DA′+A′B′+B′C＝2+5+6＝13，
故DC的最大值为13，此时D、A′，B′，C在同一条直线上．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线和较强解题能力是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝3，AC＝5．求BD长．
【答案】8．
【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出BC、CD，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝3，AC＝5，
∴BC＝CE＝3，CD＝AC＝5，
∴BD＝BC+CD＝3+5＝8．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是中线，BF是角平分线，∠C＝68°．
（1）∠CAE＝ 22 °．（直接填空）
（2）求∠1的度数．
【答案】（1）22°；（2）124°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，进而解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝68°，
∴∠ABC＝∠C＝68°，
∵AB＝AC，AE是中线，
∴AE⊥BC，即∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣68°＝22°，
故答案为：22；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝68°，BF是∠ABC的平分线，
∴∠CBF＝34°，
∵∠1是△BPE的外角，
∴∠1＝90°+34°＝124°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．
21．（10分）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm．由以上信息你能求出CB的长度吗？并说明理由．
【答案】CB的长度为35cm．
【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】解：CB的长度为35cm．理由如下：
∵O是AB、CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB＝AD，
∵AD＝35cm，
∴CB＝35cm），
答：CB的长度为35cm．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．
22．（10分）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，需要购买 19.6 m2的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】（1）4m；
（2）19.6m2．
【分析】（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m，
∴BC＝＝＝4（m），
答：BC的长为4m；
（2）地毯长为：3+4＝7（m），
∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2），
即需要购买19.6m2的地毯才能铺满所有台阶，
故答案为：19.6．
【点评】此题考查了勾股定理的应用等知识，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）由（1）得△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点F是AC边上一点，CF＝1．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题：
（1）在边AB上作点D，使得点D到边CA、CB的距离相等；
（2）在射线CD上作点E，使得点E到点A、点B的距离相等；
（3）若点P是射线CD上一个动点，当FP+AP取最小值时，在图中作出符合要求的点P，FP+AP的最小值为d，则d2＝ 13 ．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）169．
【分析】（1）作∠ACB的平分线交AB于D，则D即为所求；
（2）作AC的垂直平分线交射线CD于E，E即为所求；
（3）在CB上取F'，使CF'＝CF，连接AF'交CD于P，则P即为所求；在Rt△ACF'中，求出AF'＝＝＝13，即得FP+AP的最小值是13，即可求得d2．
【解答】解：（1）作∠ACB的平分线交AB于D，则D即为所求，如图：
（2）作AB的垂直平分线交射线CD于E，E即为所求，如图：
（3）在CB上取F'，使CF'＝CF，则F，F'关于直线CD对称，连接AF'交CD于P，则P即为所求，如图：
∵F，F'关于直线CD对称，
∴PF＝PF'，
∴PF+PA＝PF'+PA，
而A，P，F'共线，
∴此时PF+PA最小，最小值为AF'的长，
在Rt△ACF'中，
AF'＝＝＝13，
∴FP+AP的最小值是13，
∴d2＝132＝169．
故答案为：169．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线，垂直平分线的尺规作图方法．
25．（10分）如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE．
（1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△EDB，得出∠ABC＝∠D，即可推出结论；
（2）连接AD、AE，由Rt△ABC≌Rt△EDB，得出BC＝DB＝a，AC＝EB＝b，AB＝ED＝c，CE＝BC﹣EB＝a﹣b．再根据四边形ABCD的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．
【解答】解：（1）AB⊥DE．
理由：∵AC⊥BC，DB⊥BC，
∴∠ACB＝∠EBD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△EDB中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△EDB（HL），
∴∠ABC＝∠D，
∵∠ABC+∠ABD＝∠EBD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴AB⊥DE；
（2）如图，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△EDB，
∴BC＝DB＝a，AC＝EB＝b，AB＝ED＝c，CE＝BC﹣EB＝a﹣b．
∴S四边形ACBD＝（a+b）a＝a2+ab，
∵AB⊥DE，
∴S四边形ACBD＝S四边形AEBD+S△ACE＝c2+b（a﹣b）＝c2+ab﹣b2，
∴a2+ab＝c2+ab﹣b2，
整理，得a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形ABCD面积的两种方法是解题的关键．
26．（12分）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝9．点E从D点沿射线DC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运动，当点F到达终点D时，点E也立即停止运动，连接AE、AF，设点F运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD是△AEF的中线？
（2）当t＝1时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝3时，AD是△AEF的中线；
（2）△AEF是直角三角形，理由见解析；
（3）存在，t＝或t＝3．
【分析】（1）由题意得DE＝2t，DF＝9﹣t，根据中线的定义列出方程，求解即可；
（2）由勾股定理求出AF2，AE2，EF2的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论；
（3）分类讨论：①当AE＝AF，②FE＝AF，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
DE＝2t，BF＝t，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣t，
∵AD是△AEF的中线，
∴DF＝DE，
∴9﹣t＝2t，
解得t＝3，
即t＝3时，AD是△AEF的中线；
（2）当t＝1时，△AEF是直角三角形，
理由如下：
当t＝1时，DE＝2t＝2，DF＝9﹣t＝8，
∴EF＝10，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝42+82＝80，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∴AF2+AE2＝102＝EF2，
∴∠EAF＝90°，
∴△AEF是直角三角形；
（3）存在．
①当AE＝AF时，
∵AD⊥BC，
∴DF＝DE，
由（1）知t＝3；
②FE＝AF时，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（9﹣t）2，
FE＝9﹣t+2t＝9+t，
∴16+（9﹣t）2＝（9+t）2，
解得：t＝，
综上所述：t＝或t＝3．
∴当t＝或t＝3时，△AEF是以AF为腰的等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
27．（14分）【课本再现】
（1）苏科版数学八年级上册课本第65页思考：如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
【尝试探究】
（2）点P是边AC上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPE，连接AE．
①判断△AEP的形状，并说明理由；
②求证：∠AEP＝2∠ABP；
【探究应用】
（3）若点P是直线AC上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若CB＝2，直接写出点E到点C的最小距离．
【答案】（1）BC＝AB，证明见解答过程；
（2））①△AEP是等腰三角形，理由见解答过程；②证明见解答过程；
（3）1．
【分析】（1）设AB的中点D，连接CD，根据∠B＝60°，CD＝AD＝BD＝AB得△BCD是等边三角形，则CD＝BC＝BD，由此可得出BC与AB的数量关系；
（1）①设AB的中点D，连接CD，证明△EBD和△PBC全等得∠EDB＝∠ACB＝90°，进而得DE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB＝EP，由此可判定△EAP的形状；
②设∠ABP＝α，则∠EBA＝60°﹣α，根据EA＝EB，∠BAC＝30°得∠EAP＝90°﹣α，进而根据△EAP是等腰三角形DE∠AEP＝180°﹣2∠EAP＝2α，由此即可得出结论；
（3）作AB的垂直平分线MN，垂足为D，过点C作CH⊥MN于H，由（2）①知点P在直线AC上运动时，点E在MN上运动，根据“垂线段最短”得点C到MN上个点的距离中，CM为最短，因此点E和点H重合时，CE为最小，最小距离是线段比CH的长，然后求出CH的长即可得出答案．
【解答】（1）解：BC与AB的数量关系是：BC＝AB，证明如下：
设AB的中点D，连接CD，如图1所示：
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝BD，
∴BC＝AB；
（1）①解：△AEP是等腰三角形，理由如下：
设AB的中点D，连接CD，如图2所示：
由（1）知：△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△BPE是等边三角形，
∴EB＝PB＝EP，∠EBP＝60°，
∴∠EBP＝∠DBC＝60°，
∴∠EBD+∠ABP＝∠ABP+∠PBC，
∴∠EBD＝∠PBC，
在△EBD和△PBC中，
，
∴△EBD≌△PBC（SAS），
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∴ED⊥AB，
又∵点D是AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴EA＝EP，
∴△EAP是等腰三角形；
②证明：设∠ABP＝α，
∵∠EBP＝60°，
∴∠EBA＝∠EBP﹣∠ABP＝60°﹣α，
∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠60°﹣α，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAP＝∠EAB+∠BAC＝90°﹣α，
由（2）①知：△EAP是等腰三角形，
∴∠EPA＝∠EAP＝90°﹣α，
∴∠AEP＝180°﹣2∠EAP＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，
即∠AEP＝2∠ABP；
（3）解：作AB的垂直平分线MN，垂足为D，连接CD，过点C作CH⊥MN于H，如图3所示：
由（2）①知：点P在直线AC上运动时，点E在MN上运动，
根据“垂线段最短”DE：点C到MN上个点的距离中，CM为最短，
∴点E和点H重合时，CE为最小，最小距离是线段比CH的长，
由（1）知：△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝2，∠CDB＝60°，
∵MN⊥AB，
∴∠CDP＝90°﹣∠CDB＝30°，
在Rt△CDH中，∠CDP＝30°，
∴CH＝CD＝1，
∴点E到点C的最小距离1．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，理解直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形，并得出点E在线段AB的垂直平分线上运动是解决问题的难点．
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