湖北省武汉市新洲区阳逻街2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市新洲区阳逻街2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．2cm、4cm、6cm
C．3cm、5cm、7cmD．3cm、6cm、9cm
2．（3分）下列常见的数学符号，可以看成轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．∥D．≠
3．（3分）下列哪个图形具有稳定性（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．（3分）等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为（ ）
A．100°B．40°C．70°D．70°或40°
6．（3分）如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．等角对等边
D．两点之间线段最短
7．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．a＜﹣1D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AB⊥AC，AE⊥BD于点E．若BD＝20，AE＝6，则△BCD的面积是（ ）
A．60B．40C．30D．20
10．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是 ．
12．（3分）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是 ．
13．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 ．
14．（3分）如图，将四边形ABCD去掉一个70°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1+∠2＝ °．
15．（3分）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝α，∠ABC＝β，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 （用含α、β的关系式表示）．
三、解答题
17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数．
18．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
19．（8分）如图，点D，E，C，F在一条直线上，DE＝CF，BC＝AE，BC∥AE，求证：BD＝AF．
20．（8分）如图，AD为△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）求证：AB+AC＝2CG．
21．（8分）如图，在8×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（1，4）、B（6，4）、C（3，0）都是格点，且BC＝5．请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）过点A作AD∥BC，且AD＝BC；
（2）画△ABC的高BE，并直接写出E点坐标；
（3）在AB上找点P，使∠BCP＝45°：
（4）作点P关于AC的对称点Q．
22．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线CB上一点，连接AD．
（1）如图1，E为线段AD上一点，连接BE、CE，若∠ADC＝70°，CE⊥AB，∠DEB的度数是 ．
（2）如图2，E为线段AD延长线上一点，过B作BE⊥AE垂足为E，连接CE，求∠AEC的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，连接AD，过B作BE⊥BA，连接DE，若AD＝ED．求证：DE⊥DA．
23．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，若∠EAB+∠FAD＝∠EAF则线段BE、DF、EF之间的数量关系是 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，若EF＝BE+FD，探究∠EAB、∠FAD、∠EAF的之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E是线段AB上一点，CE⊥CF，且CE＝CF，过点F作FD⊥FC交CA的延长线于D，过E作EG⊥EC交BC于G，连接DG．若DF＝7，EG＝1，求DG的长．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点．
（1）①：如图①．若动点P（a，b）满足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，且PA⊥PB，求点B的坐标．
②：如图②，在第（1）问的条件下，将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置，求OD﹣OC的值．
（2）如图③，若点A与点A'关于x轴对称，且BM⊥PA′，若动点P满足∠APA′＝2∠OBA'，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值．
2024-2025学年湖北省武汉市新洲区阳逻街八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．2cm、4cm、6cm
C．3cm、5cm、7cmD．3cm、6cm、9cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、1+2＝3，不可以组成三角形；
B、2+4＝6，不可以组成三角形；
C、3+5＞7，可以组成三角形；
D、3+6＝9，不可以组成三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（3分）下列常见的数学符号，可以看成轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．∥D．≠
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，判断即可．
【解答】解：A，C，D图形无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
B选项能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形是关键．
3．（3分）下列哪个图形具有稳定性（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
B、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、图形具有稳定性，本选项符合题意；
D、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．（3分）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意得，
（n﹣2）•180＝360×2，
解得n＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
5．（3分）等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为（ ）
A．100°B．40°C．70°D．70°或40°
【答案】D
【分析】等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况．
【解答】解：当40°为顶角时，底角为：（180°﹣40°）÷2＝70°．
40°也可以为底角．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中有两个相等的角，叫做底角．
6．（3分）如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．等角对等边
D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
7．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．a＜﹣1D．
【答案】C
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．
【解答】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，
故，
解得：a＜﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】在DC上截取DE＝BD＝1，连接AE，则AD是BE的垂直平分线，则AB＝AE＝3，再证明CE＝AE＝3，进而可得BC的长．
【解答】解：在DC上截取DE＝BD＝1，连接AE，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE＝3，
∴∠1＝∠B，
又∵∠B＝2∠C，∠1＝∠C+∠2，
∴2∠C＝∠C+∠2，
∴∠2＝∠C，
∴CE＝AE＝3，
∴BC＝BD+DE+CE＝1+1+3＝5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AB⊥AC，AE⊥BD于点E．若BD＝20，AE＝6，则△BCD的面积是（ ）
A．60B．40C．30D．20
【答案】B
【分析】过点C分别作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，作CG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质求出DE＝BE＝BD＝10，根据直角三角形的性质及角的和差求出∠BAE＝∠ACF，利用AAS证明△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质求出BE＝AF＝10，则EF＝AF﹣AE＝4，根据矩形的判定与性质求出CG＝EF＝4，再根据△BCD的面积＝BD•CG求解即可．
【解答】解：如图，过点C分别作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，作CG⊥BD于点G，
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴DE＝BE＝BD＝10，
∵AB⊥AC，CF⊥AE，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE＝AF＝10，
∴EF＝AF﹣AE＝4，
∵∠CGE＝∠GEF＝∠CFE＝90°，
∴四边形GCFE是矩形，
∴CG＝EF＝4，
∴△BCD的面积＝BD•CG＝×20×4＝40，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
【答案】D
【分析】根据已知易证CA＝CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，然后连接AP，易证∠CAP＝∠CBP＝18°，从而求出∠PAO＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而证△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP，
∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°，
∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°，
∵∠CAB＝∠CBA＝48°，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°，
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°，
∴∠AOP＝∠ACD，
∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°，
∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°，
∴∠CAP＝∠OAP，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AOP（AAS），
∴AC＝AO，
∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°，
∴∠ACO＝∠AOC＝72°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°，
∴∠ACO+∠AOB＝210°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（1，﹣3）关于y轴的对称点坐标是（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12．（3分）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是 50° ．
【答案】50°．
【分析】由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是本题的关键．
13．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 3 ．
【答案】3．
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用AD是△ABC的中线得到S△ACD＝6，然后利用CE是△ACD的中线得到S△CDE＝S△ACD．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，
∵CE是△ACD的中线，
∴S△CDE＝S△ACD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14．（3分）如图，将四边形ABCD去掉一个70°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1+∠2＝ 250 °．
【答案】250．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠AEF+∠AFE，根据邻补角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴在△AEF中，∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠1+∠2＝360°﹣110°＝250°，
故答案为：250．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
15．（3分）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是 100米 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．
【解答】解：∵每次小亮都是沿直线前进10米后向左转36°，
∴他走过的图形是正多边形，
边数n＝360°÷36°＝10，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100米．
故答案为：100米．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝α，∠ABC＝β，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 α+β﹣90° （用含α、β的关系式表示）．
【答案】α+β﹣90°．
【分析】过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，判定AD为∠EAC的平分线，CD为∠ACF的平分线，即可得出∠DAC的度数．
【解答】解：如图，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
∴CD为∠ACF的平分线，
∵∠DCB＝α，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠ACF＝2∠DCF＝360°﹣2α，
∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝360°﹣2α﹣β，
∴∠CAE＝180°﹣（360°﹣2α﹣β）＝2α+β﹣180°，
∴∠DAC＝＝α+β﹣90°，
故答案为：α+β﹣90°．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等．
三、解答题
17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件得到∠ADC＝90°，求得∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，根据角平分线的定义得到∠ACE＝ACB＝35°，于是得到答案．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝ACB＝35°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
18．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
19．（8分）如图，点D，E，C，F在一条直线上，DE＝CF，BC＝AE，BC∥AE，求证：BD＝AF．
【答案】见解析．
【分析】根据平行线的性质得出∠BCD＝∠AEF，利用SAS证明△BCD≌△AEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BC∥AE，
∴∠BCD＝∠AEF，
∵DE＝CF，
∴DC＝FE，
在△BCD和△AEF中，
，
∴△BCD≌△AEF（SAS），
∴BD＝AF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△BCD≌△AEF是解题的关键．
20．（8分）如图，AD为△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）求证：AB+AC＝2CG．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）延长FE至点H，使EH＝FE，连结CH，先证△CEH≌△BEF可得CH＝BF，∠H＝∠F，结合平行线的性质、角平分线的定义进而证得∠CGH＝∠H，再根据等腰三角形的判定及等量代换即可得证；
（2）结合平行线的性质、角平分线的定义证得∠AGF＝∠F，则AG＝AF，最后根据线段的和差即可得证．
【解答】证明：（1）延长FE至点H，使EH＝FE，连结CH，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△CEH和△BEF中，
，
∴△CEH≌△BEF（SAS），
∴CH＝BF，∠H＝∠F，
∵EF∥AD，
∴∠CGH＝∠CAD，∠BAD＝∠F，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CGH＝∠F，
∴∠CGH＝∠H，
∴CH＝CG，
∴BF＝CG；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠BAD＝∠F，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∵AC＝CG+AG，AF+AB＝BF，BF＝CG，
∴AC＝CG+CG﹣AB，
∴AB+AC＝2CG．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解答本题的关键．
21．（8分）如图，在8×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（1，4）、B（6，4）、C（3，0）都是格点，且BC＝5．请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）过点A作AD∥BC，且AD＝BC；
（2）画△ABC的高BE，并直接写出E点坐标；
（3）在AB上找点P，使∠BCP＝45°：
（4）作点P关于AC的对称点Q．
【答案】（1）（2）（3）（4）见解析部分．
【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可；
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（3）取格点M，连接BM，CM，CM交AB于点P，点P即为所求；
（4）取格点N，连接CN交AD于点Q，点Q即为所求，也可以连接DP交AC于M，然后连接BM，延长BM交AB于Q．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图，线段BE即为所求，E（2，﹣2）．
（3）如图，点P即为所求；
（4）如图，点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为射线CB上一点，连接AD．
（1）如图1，E为线段AD上一点，连接BE、CE，若∠ADC＝70°，CE⊥AB，∠DEB的度数是 50° ．
（2）如图2，E为线段AD延长线上一点，过B作BE⊥AE垂足为E，连接CE，求∠AEC的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，连接AD，过B作BE⊥BA，连接DE，若AD＝ED．求证：DE⊥DA．
【答案】（1）50°；
（2）∠AEC＝45°；
（3）证明见解答．
【分析】（1）由题意得，CE为AB的中垂线，则∠EAB＝∠EAB＝25°，即可求解；
（2）证明△CAF≌△CBE（SAS），得到CE＝CF，即可求解；
（3）证明△EMD≌△DCA（SAS），即可求解．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，则∠CAB＝45°，
在Rt△ACD中，∠ADC＝70°，则∠CAD＝90°﹣70°＝20°，
则∠EAB＝45°﹣20°＝25°，
∵CE⊥AB，△ABC为等腰直角三角形，
则CE为AB的中垂线，
则∠EAB＝∠EAB＝25°，
则∠DEB＝∠EAB+∠EAB＝25°×2＝50°，
故答案为：50°；
（2）解：作CF⊥CE交AE于点F，
∵AE⊥BE，
∴∠EBA+∠ABE＝90°，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABD＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠AEC＝45°；
（3）证明：作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵∠ABC＝45°，∠ABE＝90°，
∴∠EBM＝45°，即△BEM为等腰直角三角形，
设AC＝BC＝a，BD＝x，EM＝b，则DM＝BM﹣BD＝b﹣x，
∵AD＝ED，即AC2+CD2＝BM2+EM2，
即a2+（a+x）2＝b2+（b﹣x）2，
整理得：（a+b）（a﹣b+x）＝0，
∵a+b≠0，则a﹣b+x＝0，
即BM＝b＝a+x＝CD，DM＝b﹣x＝a＝AC，
∴△EMD≌△DCA（SAS），
∴∠EDM＝∠CAD，∠DEM＝∠ADC，
则∠EDM+∠ADC＝∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴DE⊥DA．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
23．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，若∠EAB+∠FAD＝∠EAF则线段BE、DF、EF之间的数量关系是 BE+DF＝EF ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，若EF＝BE+FD，探究∠EAB、∠FAD、∠EAF的之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E是线段AB上一点，CE⊥CF，且CE＝CF，过点F作FD⊥FC交CA的延长线于D，过E作EG⊥EC交BC于G，连接DG．若DF＝7，EG＝1，求DG的长．
【答案】（1）BE+DF＝EF．
（2）∠EAB+∠FAD＝∠EAF．理由见解答过程．
（3）6．
【分析】（1）通过延长EB构造Rt△ADF≌Rt△ABG，进而推出AF＝AG和∠EAG＝∠EAF，再由“SAS”证得△EAG≌△EAF，即可得到EF＝GE，从而得出结论．
（2）通过延长EB构造△ADF≌△ABG得出AF＝AG、∠FAD＝∠GAB，然后证得△AEF≌△AEG（SSS），再由∠EAF＝∠EAG即可得出结论．
（3）在DF上取点H，使HF＝EG．根据“HL”证得Rt△CEG≌Rt△CFH，得到CG＝CH、∠ECG＝∠FCH，推出∠DCG＝∠DCH＝45°，再由“SAS”证得△DCG≌△DCH得出DG＝DH，最后由线段和差关系求出DG的长．
【解答】解：（1）如图，在EB延长线上取点C，使BG＝DF，连接AG．
在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD＝AB，DF＝BG，
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（HL）．
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAB+∠FAD＝∠EAF，
∴∠EAG＝∠EAB+∠GAB＝∠EAF．
在△EAG和△EAF中，AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS）．
∴EF＝GE＝BG+BE＝BE+DF．
故答案为：BE+DF＝EF．
（2）结论：∠EAB+∠FAD＝∠EAF．
理由：在EB延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG.
∵∠ABE+∠D＝180°．
∴∠ABG＝∠D．
在△ADF和△ABG中，AB＝AD，∠ABG＝∠D，BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS）．
∴AF＝AG，∠FAD＝∠GAB．
在△AEF和△AEG中，AF＝AG，EF＝BE+DF＝BE+BG＝EG，AE＝AF，
∴△AEF≌△AEG（SSS）．
∴∠EAF＝∠EAG，
∴∠EAF＝∠GAB+∠EAB＝∠EAB+∠FAD．
（3）在DF上取点H，使HF＝EG．根据题意△CEG和△CFH都是直角三角形．
∵EC＝FC，HF＝EG，
∴Rt△CEG≌Rt△CFH（HL）．
∴CG＝CH，∠ECG＝∠FCH，
又∵∠ECH+∠FCH＝90°，
∴∠HCG＝∠ECH+∠ECG＝90°，
∴∠DCG＝∠DCH＝45°．
在△DCG和△DCH中，CG＝CH，∠DCG＝∠DCH，DC＝DC，
∴△DCG≌△DCH（SAS），
∴DG＝DH＝DF﹣HF＝DF﹣EG＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点．
（1）①：如图①．若动点P（a，b）满足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，且PA⊥PB，求点B的坐标．
②：如图②，在第（1）问的条件下，将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置，求OD﹣OC的值．
（2）如图③，若点A与点A'关于x轴对称，且BM⊥PA′，若动点P满足∠APA′＝2∠OBA'，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①如图①中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用非负数的性质可得a＝b＝3，证明四边形PEOF是正方形，△PEA≌△PFB即可解决问题．
②证明△APC≌△BPD（ASA），可得AC＝BD，推出OD﹣OC＝OB+BD﹣（AC﹣OA）＝BO+OA＝4+2＝6．
（2）如图3中，作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA′于N．证明△A′MB≌△AEB（AAS），推出BE＝BM，AE＝A′M，证明Rt△PBM≌Rt△PBE（HL），推出PM＝PE，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图①中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，
又∵|3a﹣9|≥0，（3﹣b）2≥0，
∴3a﹣9＝0，3﹣b＝0，
∴a＝b＝3．
∴PE＝PF＝3，
∵∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，
∴四边形PEOF是正方形，
∴∠EPF＝∠APB＝90°，PE＝OF＝3，
∴∠APE＝∠BPF，
∵∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴△PEA≌△PFB（ASA），
∴AE＝FB，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴AE＝BF＝1，
∴OB＝4，
∴B（4，0）．
②如图②中，
由①可知∠PAC＝∠PBD，PA＝PB，
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APC＝∠BPD，
∴△APC≌△BPD（ASA），
∴AC＝BD，
∴OD﹣OC＝OB+BD﹣（AC﹣OA）＝BO+OA＝4+2＝6．
（2）如图3中，作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA′于N．
∵OA＝OA′，OB⊥AA′，
∴BA＝BA′，
∴∠OBA＝∠OBA′，
∵∠APA′＝2∠OBA′，
∴∠APN＝∠A′BN，
∴∠EAB＝∠BA′M，
∵BM⊥PA′，BE⊥AE，
∴∠A′MB＝∠E＝90°，
∴△A′MB≌△AEB（AAS），
∴BE＝BM，AE＝A′M，
∵PB＝PB，∠BMP＝∠E＝90°，
∴Rt△PBM≌Rt△PBE（HL），
∴PM＝PE，
∴PA′﹣PA＝PM+A′M﹣（AE﹣PE）＝2PM，
∴＝2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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